Licence 1999-2000 L4 Calc. Diff.-Équa. Diff.
13 mars
Équations différentielles (II)

Exercice 1) Déterminer l'ensemble des solutions des équations différentielles linéaires du premier ordre suivantes, sur l'intervalle indiqué I:

a) (ex + 1)y' + exy = 0, I = R ;

b) y' + y = e-x + 2e2x + 3 sin(x) + 4x, I =] - p 2, p 2[ ;

c) sin(x)y' - cos(x)y = - cos 2(x), I =]0, 1[.

Exercice 2) On considère l'équation différentielle:

2 ' (x - 4)y + xy = 2.

a) Déterminer ses solutions sur chacun des intervalles ] - oo , -2[, ] - 2, 2[ et ]2, + oo [.

b) Déterminer ses solutions définies sur chacun des intervalles ] - oo , 2[, ] - 2, + oo [ et R.

Exercice 3) Dans chacun des cas ci-dessous, calculer l'exponentielle de la matrice A et donner un système fondamental de solutions de l'équation différentielle x' = Ax (on utilisera différentes méthodes) :

a) 
( ) A = - 7-12 4 7
b) 
( ) A = 04 14
c) 
( ) 3 0 1 A = 2 11 - a2 - 11 1
où a est un paramètre réel. 		d) 
( ) 10-11 A = 01 1 0 00 1 0 00 1 0

Exercice 4) Dans chacun des cas ci-dessous, calculer la résolvante du système homogène x' = Ax et résoudre le système x' = Ax + b(t).

a) 
( ) ( ) 0 1 0 A = 2-1 , b(t) = e-t
b) 
( ) ( ) 2 0 0 cos(t) A = - 4 1 1 , b(t) = 0 2 -13 0
c) 
( ) ( t) 33- 2 e A = 11 2 , b(t) = 0t 13 0 e

Exercice 5) Résoudre le système

' x = 2tx - y+ tcos(t) y'= x+ 2ty+ tsin(t)
Remarque: Bien que le système homogène associé dépende de la variable t, on montrera qu'on peut utiliser une méthode semblable au cas autonome.

Exercice 6) Résoudre les équations différentielles :

a) y'' - 3y' + 2y = x2 + x + 1 b) y'' - y' = x2 c) y'' - 2y' - 3y = e3x d) y'' + y = 2ex e) y'' + y' - 6y = xe2x f) y'' + 2y' + y = (x2 - x)e-2x g) y'' - 2y' + y = 6xex h) y'' - 3y' + 2y = cos(x) i) y'' - 2y' + 2y = 2ex sin(x)