Exercice 1) Soit f et g deux fonctions de classe C1 de dans . On considère l'équation différentielle :
a) Écrire cet équation sous la forme d'un système du premier ordre pour (x, y) = (x, x').
On fait les hypothèses de frottement et de rappel
b) Déterminer G pour que E(x, y) = y2/2 + G(x) soit une intégrale première quand f est la fonction nulle.
c) Montrer que sous l'hypothèse de frottement, E décroit le long des trajectoires, et que sous l'hypothèse de rappel, 0 est un minimum de E.
d) Montrer que si f(0) > 0 et xg(x) = 0 sur un voisinage K de 0 dans , alors 0 est un point d'équilibre stable.
e) Montrer que si f(x) > 0 et xg(x) > 0 sur un voisinage K de 0 dans , alors E est une fonction de Liapounov et 0 est asymptotiquement stable. Peut-on encore affaiblir l'hypothèse sur g ?
f) Donner une condition suffisante pour que toute solution converge vers 0 quand t .
g) Application aux systèmes
Exercice 2) Étude qualitative des systèmes