Exercice 1) En utilisant la méthode de la variation de la constante résoudre:

a) y'' + y = 1/ sin(x)

b) y'' + 3y' + 2y = (x - 1)e^-x/x².

Exercice 2) Donner la forme générale des solutions des équations différentielles

a) y'' + y' - y = t²e^t ;

b) y'' + y = sin(t) ;

c) y'' - 2y' + 1 = te^-t.

Exercice 3) L'objectif de cet exercice est d'étudier qualitativement les courbes intégrales (c.i.) de l'équation de Riccati : y' = y² - x sur ².

a) Déterminer, pour m et tracer, pour m {0, 1}, la courbe isocline P_m, lieu des points (x, y) où la c.i. passant ce point a une pente égale à m.

b) Déterminer la courbe I₀, lieu des (x, y) où la c.i. passant ce point a un point d'inflexion.

On note I₀ l'intersection de I₀ avec le demi-plan (ouvert) d'équation y > 0.

c) Déterminer les régions U_+,+ ,U_+,-, U_-,+ et U_-,- où les c.i. sont respectivement croissante et convexe, croissante et concave, décroissante et convexe, décroissante et concave.

d) Déterminer l'allure des solutions maximales de l'équation différentielle dans chaque région U_,' sauf U_+,-. En particulier, préciser le comportement aux bornes de l'intervalle.

e) Même question pour U_+,-. Que peut-on dire de la différence de deux solutions ? En déduire qu'une seule solution maximale dans cette région a un intervalle non borné à droite. Quel est son comportement asymptotique.