Une fiche de description du Master 1 Professionnel est disponible sur le site de l'Université

TRONC COMMUN

MI0 Outils Informatiques pour le Calcul Scientifique et la Statistique : (32 H ; C : 16 H, TP : 16 H) (ECTS : 4)

• Perfectionnement en Fortran90 et en R.

MI1 Analyse fonctionnelle et EDP : (64 H ; C : 32 H, TD : 32 H) (ECTS : 8)

• Rappels de topologie et d'algèbre linéaire
• Espaces normés et espaces de Banach (Théorèmes de Banach-Steinhaus, du Graphe Fermé, de Hahn-Banach,...)
• Espaces de Hilbert (Projection sur un convexe fermé, projection orthogonale, dual d'un espace de Hilbert, théorème de représentation de Riesz, bases hilbertiennes, séries de Fourier, polynômes orthogonaux, convergence faible,...)
• Distributions (Espace des fonctions test, topologie, opérations élémentaires sur les distributions, dérivation, produit tensoriel, convolution, calcul de Heaviside, résolution d'équations intégrales ou aux dérivées partielles simples,...)
• Transformation de Fourier (TF) des distributions (Rappels sur la TF des fonctions, fonctions à décroissance rapide, topologie, distributions tempérées, TF des distributions tempérées, formule d'inversion, TF d'un produit de convolution, TF des distributions à support compact, TF des fonctions de carré intégrable, formule de Parseval-Plancherel,...)
• Problèmes aux limites pour les équations aux dérivées partielles (EDP) elliptiques (Généralités sur les EDP, équations elliptiques, problèmes aux limites, espaces de Sobolev, théorème de Lax-Milgram, ouverts à bord régulier ou régulier par morceaux, théorème de trace, formule de Green généralisée, problèmes de Dirichlet et de Neumann, inégalité de Poincaré, théorème d'injection de Sobolev,...)

MI2 Analyse numérique et Algorithmique : (76 H ; C : 32 H, TD : 20 H, TP : 24 H) (ECTS : 8)

• Résolution de problèmes aux valeurs propres
• Rappels et compléments d'algèbre linéaire
• Conditionnement des problèmes d'éléments propres
• Calculs d'éléments propres d'une matrice
• Complément sur la résolution des systèmes linéaires
• Méthodes directes pour la résolution des grands systèmes creux
• Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires : méthodes de Krylov, méthode de bi-orthogonalisation
• Techniques de préconditionnement : méthodes itératives de décomposition, Accélération de la convergence
• Résolution numérique des systèmes non linéaires
• Approximation polynomiale et rationnelle, approximation par des splines
• Compléments sur la Résolution numérique des équations différentielles
• Programmation : Structure de données matricielles, stockage de matrices creuses, Programmation de méthodes numériques en Fortran.

MI3 Probabilités : (64 H ; C : 32 H, TD : 32 H) (ECTS : 8)

• Fondements et rappels : espace probabilisé, variable aléatoire, indépendance, fonction de répartition, couple de variables aléatoires.
• Conditionnement.
• Vecteurs aléatoires, formes quadratiques et lois associées: généralités sur les vecteurs aléatoires réels, vecteurs aléatoires gaussiens, formes quadratiques définies sur un vecteur gaussien et lois dérivées.
• Convergence des suites de variables aléatoires, théorèmes limites : différents types de convergence, loi faible et loi forte des grands nombres, Théorème limite central.
• Séries de variables aléatoires indépendantes : inégalité maximale de Kolmogorov, théorème de convergence de Kolmogorov, loi forte des grands nombres.
• Chaînes de Markov.
• Processus stochastiques.
• La moitié des TD sont faits sur ordinateur avec le logiciel R (logiciel libre distribué selon la licence GNU General Public licence).

MI4 Optimisation : (76 H ; C : 32 H, TD : 20 H, TP : 24 H) (ECTS :8)

• Rappels sur le calcul des extrema, extrema liés
• Programmation linéaire, méthode du simplexe, dualité.
• Généralités sur l'optimisation de fonctionnelles convexes.
• Optimisation sans contrainte. Optimisation avec contraintes, points selles, lagrangien, dualité.

MI5 Analyse numérique des EDP : (76 H ; C : 32 H, TD : 20 H, TP : 24 H) (ECTS : 8)

• Analyse numérique de problèmes d'équations aux dérivées partielles elliptiques : méthodes de différences finies, méthodes des éléments finis.
• Compléments sur les formulations variationnelles.
• Techniques d'implémentation des méthodes d'éléments finis.

MI6 Statistique : (64 H ; C : 32 H, TD : 32 H) (ECTS : 8)

• Statistique inférentielle paramétrique : modèle statistique, estimation ponctuelle, consistance et efficacité d'un estimateur, exhaustivité, borne de Cramer-Rao, amélioration de Rao-Blackwell, estimateur des moments, estimateur du maximum de vraisemblance.
• Statistique non-paramétrique : fonction de répartition empirique, estimateur de la densité par noyau.
• Tests paramétriques : tests classiques sur la moyenne et la variance d'un échantillon gaussien, comparaison de deux échantillons gaussiens; principe de Neyman, Lemme de Neymann-Pearson, application à la construction de tests uniformément les plus puissants (test à hypothèses simples, tests unilatéraux, tests unilatéraux, tests en présence de paramètres de nuisance).
• Tests d'adéquation à une loi : test de Kolmogorov-Smirnov, tests du Chi-Deux (d'adéquation et d'indépendance dans un tableau de contingence).
• Intervalles de confiance.
• Le modèle linéaire gaussien (estimateur par moindres carrés ordinaires, tests de significativité).
• La moitié des TD sont faits sur ordinateur avec le logiciel R (logiciel libre distribué selon la licence GNU General Public licence).

MI9 Travail d'étude et de recherche (T.E.R.) : (TP : 50 H) (ECTS : 4)

Le T.E.R. est un projet complet, mettant un oeuvre les connaissances théoriques acquises en mathématiques appliquées sur un problème concret en calcul scientifique ou en probabilités et statistique. Les étudiants choisissent un sujet dans une liste proposée par les enseignants de la maîtrise. Ces sujets sont généralement pris dans des projets industriels déjà réalisés ou dans des demandes en cours des partenaires socio-économiques. Ils peuvent correspondre à des pré-études (faisabilité,…) débouchant sur un stage d'été. Il comporte pour :

• la dominante Calcul scientifique : de la programmation, projet d'analyse numérique et de calcul scientifique, analyse mathématique et mise en oeuvre numérique d'un modèle représentant un problème physique. Apprentissage d'utilisation de codes de calcul scientifique (Modulef, NAG,...).
• la dominante Statistique et Probabilités : la lecture d'un article ou de chapitres de livre introduisant des notions statistiques ou probabilistes non-développées en cours, l'application à des données réelles de ces notions en utilisant le logiciel de traitement statistique R. A partir de la problématique posée par l'étude, l'étudiant devra, sous la conduite de l'enseignant, choisir les méthodes appropriées et les mettre en oeuvre, interpréter les résultats obtenus.

L'étudiant réalise le projet sous la direction d'un enseignant responsable du sujet au cours du second semestre. Il produit un rapport écrit. Une soutenance orale publique (de l'ordre de 30 minutes) est organisée devant le jury du Master Professionnel 1ère année et les invités industriels.

MODULES OPTIONNELS

Les étudiants choisissent une dominante parmi les deux suivantes :

Calcul scientifique : MI7 Analyse de problèmes modèles : (32 H ; C: 16 H, TD: 16 H) (ECTS: 4)

• Equations de la mécanique des milieux continus. Caractérisation des EDP.
• Quelques formulations mathématiques de problèmes en élasticité, en mécanique des fluides et en cinétique chimique.
  • Elasticité linéaire, Fluides newtoniens

Statistique- Probabilités : MI8 Analyse de données : (32 H ; C : 16 H, TD : 16 H) (ECTS : 4)

• Généralités : centre de gravité et inertie d’un nuage d’individus. Propriétés de l’inertie.
• Méthodes de statistique multidimensionnelle pour décrire et réduire la dimension de l'espace de représentation : Analyse en composantes principales, analyse factorielle des correspondances simples et multiples.
• Méthodes de classification automatique : Classification par partition ; Classification hiérarchique.

Une partie des TD sont effectués sur ordinateur (logiciel R).