Mémoire M2R: Quelques sujets proposés en 2011.
N'hésitez pas à contacter les enseignants correspondants si vous êtes interessés.
Analyse spectrale aux seuils pour l'opérateur de Schrödinger (proposé par X.-P. Wang)
Les seuils sont des valeurs exceptionnelles d'énergie près desquelles des phénomènes physiques complexes se produisent. L'analyse spectrale aux seuils est un outil qui permet d'étudier certains de ces phénomènes de manière rigoureuse. Même si un tableau complet a été dressé après plusieurs décennies de recherche sur les propriétés spectrales au seuil zéro pour l'opérateur de Schrödinger à deux-corps avec un potentiel électrique décroissant sur l'espace euclidien, beaucoup de questions restent ouvertes dans des situations plus compliquées, comme des problèmes avec un champs magnétique, dans la diffusion géométrique ou à N-corps. Le but de ce stage est de comprendre les méthodes couramment utilisées dans la littérature existante. Une bonne connaissance de base en analyse est souhaitée.
Graphes quantiques (proposé par L. Hillairet)
Définition, changement de conditions autoadjointes, simplicité/multiplicité dans le spectre. Un premier objectif serait de comprendre la preuve de Friedlander de la simplicité générique puis éventuellement de voir à quelles types de conditions au bord on peut généraliser le résultat. Références : Kuchment, Peter : Quantum graphs I (survey) Friedlander, Leonid Genericity of simple eigenvalues for a metric graph (paru dans Israel Journal of Math).
La méthode de Grushin (proposé par F. Hérau)
En théorie spectrale, l'étude des propriétés spectrales ou d'inversibilité pour un opérateur donné peuvent parfois se réduire à l'étude des mêmes propriétés pour un opérateur réduit "effectif", grâce à une méthode robuste appelée méthode de Grushin. Cette méthode est utilisée dans de nombreux contextes et l'opérateur réduit peut prendre plusieurs formes. Le but de ce stage est de comprendre cette méthode et quelques cas simples d'application. références : Sjostrand J, et Zworski M, Elementary linear algebra for advanced spectral problems, paru aux annales de l'Institut Fourier 2007.
Introduction au monde des équations Hamiltoniennes (proposé par B. Grébert)
Le stage consistera en une introduction au monde des équations hamiltoniennes, et des équations aux dérivées partielles hamiltoniennes. Le principe est de développer des outils issus du monde des systèmes dynamiques de dimension finie (la mécanique céleste par exemple) pour le transposer dans le monde des équations aux dérivées partielles (EDP) non linéaires (l'équation des ondes non linéaire par exemples). Le but est d'en déduire le comportement dynamique des solutions (la stabilité par exemple). En ce qui concerne spécifiquement l'instabilité, il est possible de construire des solutions instables de certaines EDP Hamiltoniennes non linéaires en concrétisant les phénomènes de résonances présents dans la théorie des formes normales. Par exemple, pour un système couplant de manière non linéaire deux oscillateurs harmoniques (pendules) ayant des fréquences d'oscillation rationnellement dépendantes, il est simple de construire des solutions qui échangent périodiquement de l'énergie entre les deux oscillateurs (conséquence du couplage non linéaire). Le problème est de transposer ce genre de phénomène à la dimension infinie. Des cas ont déjà été traité, le stage consisterait à les comprendre.