Département de Mathématiques de l'Université de Nantes

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Analyse spectrale aux seuils pour l'opérateur de Schrödinger (proposé par X.-P. Wang)

Les seuils sont des valeurs exceptionnelles d'énergie près desquelles des phénomènes physiques complexes se produisent. L'analyse spectrale aux seuils est un outil qui permet d'étudier certains de ces phénomènes de manière rigoureuse. Même si un tableau complet a été dressé après plusieurs décennies de recherche sur les propriétés spectrales au seuil zéro pour l'opérateur de Schrödinger à deux-corps avec un potentiel électrique décroissant sur l'espace euclidien, beaucoup de questions restent ouvertes dans des situations plus compliquées, comme des problèmes avec un champs magnétique, dans la diffusion géométrique ou à N-corps. Le but de ce stage est de comprendre les méthodes couramment utilisées dans la littérature existante. Une bonne connaissance de base en analyse est souhaitée.

Développements d'optique géométrique pour des problèmes aux limites (proposé par J.-F. Coulombel) (télécharger le pdf)

Sur le problème de Yamabe (proposé par G. Carron) (télécharger le pdf)

Introduction à la théorie KAM (proposé par B. Grébert) (télécharger le pdf)

1 - Contexte La théorie KAM a été introduite par A. Kolmogorov, V. Arnold et J. Mo¬ser (de 1954 à 1962) afin de montrer l’existence de trajectoires stables (ou mieux de tores invariants) pour certaines perturbations de systèmes Hamiltoniens intégrables. Historiquement, cette technique a été développée en mécanique céleste (pour étudier en particulier la stabilité du système solaire, voire par exemple l’introduction de [G]) et a mis fin aux discussions autour l’hypothèse ergodique qui, au contraire, prétendait que essentiellement tous les tores invariants d’un système Hamiltonien intégrable donné étaient détruits par perturbation Hamiltonienne. La théorie KAM n’est pas cantonnée à la mécanique céleste et se prête à beau¬coup d’autres applications en particulier dans le domaine très riche des EDP non linéaires qui, pour certaines, peuvent être vues comme des systèmes Hamiltoniens ayant une infinité de degrés de liberté. Le passage de la dimension finie (mécanique céleste) à la dimension infinie (EDP) n’est évidemment pas gratuite.

2 - Contenu du stage Le but de ce stage de Master 2 sera de se familiariser avec la théorie KAM classique (en dimension finie) et de commencer à réfléchir à son extension en dimension infinie, ce qui pourra déboucher naturellement sur une thèse. Plus précisément le stage s’articulera de la manière suivante : (i) Un cours accéléré de mécanique Hamiltonienne (si nécessaire) qui pourra s’appuyer sur le livre de Wiggins cité en référence [W]. (ii) Une étude des notions plus spécialisées : tores invariants, petits diviseurs, résonances... (iii) Une démonstration complète du théorème originel de Kolmogorov dans une version récente et très élégante due à Hubbard et Ilyachenko (voir [HI]). (iv) Une première approche des problèmes de la dimension infinie (Résonances, conditions de Melnikov, espaces fonctionnels...) autour du cas relativement simple de l’équation de Schrödinger non linéaire sur le cercle (voir [G, K]. Aucun prérequis spécifique n’est demandé hormis une base solide en analyse réelle et complexe et en analyse de Fourier.

Perspectives S. Kuksin puis J. Pöschel ont été les premiers, au milieu des années 80, à établir des théorèmes de type KAM dans le cadre des EDP (en particulier pour NLS et KdV, voir [K, P]). Le théorème KAM en dimension infinie de S. Kuksin est une généralisation ”naturelle” du théorème KAM ”classique” conser¬vant l’idée centrale de Kolmogorov : utiliser une méthode itérative consistant à linéariser le système à chaque étape afin d’obtenir un processus supra-convergent de type Newton, ce qui permet de résoudre le problème des petits diviseurs inhérent à la théorie KAM. Néanmoins sa mise en oeuvre sur une EDP particulière demande souvent beaucoup d’efforts : il faut souvent affaiblir les hypothèses de non résonance beaucoup trop restrictives dans le cas standard (voir par exemple [EK, GT]). Une autre piste tout aussi intéressante consiste à se servir de résonances partielles pour trouver des paramètres internes au système que l’on peut faire varier afin de se sortir de toute situation résonante (voir l’article précurseur [KP]). Ce serait plutôt dans cette dernière direction en plein essor que nous pourrons envisager une thèse débutant à la rentrée 2012.

Références

[EK] L.H. Eliasson and S.B. Kuksin. KAM for the nonlinear Schrödinger equa-tion. Ann. of Math. (2) 172 (2010), no. 1, 371–435. [G] B. Grébert. Birkhoff normal form and Hamiltonian PDEs, Partial differential equations and applications, Sémin. Congr., vol. 15, Soc. Math. France, Paris 2007, pp. 1–46.
[GT] B. Grébert and L. Thomann. KAM for the Quantum Harmonic Oscillator, Comm. Math. Phys. 307 (2011), no. 2, 383–427. [HI] J. Hubbard and Y. Ilyashenko. A proof of Kolmogorov’s theorem, DCDS-A 10 (2004), 367–385.
[K] S. B. Kuksin. Nearly integrable infinite-dimensional Hamiltonian systems. Lecture Notes in Mathematics, 1556. Springer-Verlag, Berlin, 1993.
[KP] S. B. Kuksin and J. Pöschel. Invariant Cantor manifolds of quasi-periodic oscillations for a nonlinear Schrödinger equation. Ann. of Math. 143 (1996), 149–179.
[P] J. Pöschel. A KAM-theorem for some nonlinear partial differential equations. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 23 (1996), no. 1, 119–148.
[W] S. Wiggins. Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos. Texts in Applied Mathematics, 2. Springer-Verlag, New York, 1990.

Comportement en grand temps des équations cinétiques à basse température. (proposé par Frédéric Hérau)

Description du sujet Ces dernières années des progrès importants ont été faits dans l’étude en temps long des équations cinétiques, décrivant l’évolution d’un système de particules. En particulier la notion d’hypocoercivité [5] et les méthodes liées ont permis d’avoir des estimations fines de temps de retour à l’équilibre pour ces systèmes. Le but de ce mémoire est dans un premier temps de comprendre dans quelques cas simples, une des méthodes existante pour prouver le retour à l’équilibre, en s’inspirant des travaux [1] et [2]. Dans un deuxième temps, il s’agira d’essayer de suivre et comprendre l’influence d’un des paramètres physiques, la température, et son impact sur le taux de retour, en particulier sur les modèles de Boltzmann linéaire avec un potentiel confinant, ou bien le modèle de type BGK linéarisé.

Prérequis Les prérequis pour faire ce mémoire sont une bonne base de théorie des opérateurs et des équations aux dérivées partielles. Quelques notions sur les opérateurs pseudo-différentiels sont bienvenues même si pas indispensables. Poursuite en thèse Ce sujet peut être considéré comme une première étape dans l’étude fine des propriétés spectrales pour équations cinétiques à basse température. Des travaux récents sur de nombreux modèles différentiels de type Fokker-Planck, et utilisant toute la machinerie semi-classique dans le régime basse température [3] [4], ont permis d’obtenir des estimations ultrafines sur les plus petites valeurs propres. Celles ci sont intimement liées au taux de retour a l’équilibre, et l’étude en particulier de modèles non différentiels est à faire (modèles jouets, modèles linéaires ou linéarisés...).

Contact Les étudiant intéressés et souhaitant plus de renseignements sur le sujet sont invités à contacter : frederic.herau@univ-nantes.fr

Bibliographie
[1] Dolbeault J., Mouhot C., Schmeiser C. Hypocoercivity for linear kinetic equations conserving mass, preprint 2010 http://hal.archives-ouvertes.fr/ccsd-00482286
[2] Hérau F., Hypocoercivity and exponential time decay for the linear inhomogeneous relaxation Boltzmann equation, Asymptot. Anal. 46, 3-4 pp. 349–359 (2006).
[3] Hérau F., Sjöstrand J., Stolk, C., Semiclassical analysis for the Kramers-Fokker-Planck equation, Comm. Partial Differential Equations 30, no. 4-6, pp. 689–760 (2005).
[4] Hérau F., Hitrik M., Sjöstrand J., Tunnel effect and symmetries for Kramers Fokker-Planck type operators, with J. Sjöstrand and M. Hitrik, Journal of the Inst. of Math. Jussieu 10(3) pp. 567–634 (2011).
[5] Villani C., Hypocoercivity, Mem. Amer. Math. Soc. 202, no. 950 (2009).

Géométrie kaehlérienne et métriques canoniques (proposé par Yann Rollin : yann.rollin@univ-nantes.fr) télécharger le pdf

Les variétés projectives complexes possèdent une structure naturelle de variété kaehlérienne : comme l’espace projectif possède une métrique naturelle, la métrique de Fubini-Study, on en déduit une métrique de Kaehler induite sur la variété projective appelée métrique de Bergman. Cependant, une telle métrique n’est définie qu’à l’action près du groupe linéaire qui agit sur l’espace projectif complexe, et donc sur la métrique. Cette action donne un nombre fini de degrés de liberté. Plus généralement, on peut perturber toute métrique kaehlérienne par un potentiel (ie une fonction) et l’espace des métriques kaehlériennes est ainsi de dimension infinie. Une question légitime est donc de se demander si il existe une métrique kaehlérienne privilégiée. La recherche de métriques canoniques a été initiée par Calabi. On cherche à perturber la métrique par un potentiel pour minimiser un problème variationnel, en l’occurence la norme L2 de la courbure scalaire. Cette approche analytique est réputée extrêmement difficile. Elle donne lieu à une équation différentielle non linéaire d’ordre 4. L‘existence d’une solution a été prouvée dans certains cas particuliers :

• Les courbes complexes pour lesquelles la métrique à courbure constante répond au problème.

• Les métriques de Kaehler-Einstein. C’est le fameux théorème de Yau

• Les surfaces complexes à symétrie torique. C’est un résultat récent de Donaldson.

Sans chercher à résoudre la question en toute généralité, plusieurs question surgissent ici :

• Quel lien entretiennent les métriques extrémales de Calabi et les métriques de Bergman ? Dans un travail récent, Donaldson montre que si la métrique extrémale existe, elle peut être approximée par une suite de métriques de Bergman équilibrées.

• L’existence de métriques équilibrées est elle même équivalente à une condition de type algébrique, la stabilité au sens de Chow. Peut-on donner des critères simples assurant cette condition de stabilité sans connaitre a priori l’existence d’une métrique extrémale ?

• Existe-t-il des obstructions à l’existence de métriques extrémales ? On connait des réponses partielles à cette question : la stabilité au sens de Chow est une condition nécessaire, mais également la K-stabilité. Il existe aussi d’autres conditions mieux connues portant sur l’algèbre de Lie des champs de vecteurs holomorphes.

• Quel est le lien entre ces différents types de stabilité ?

Le stage proposé consistera à se familiariser avec les notions évoquées ci-dessus. Un bagage minimum de géométrie riemannienne et de géométrie algébrique complexe est souhaitable. Le stage pourra déboucher sur une thèse car de nombreuses questions gravitant autour de la conjecture de Tian-Yau- Donaldson sont ouvertes. Cette conjecture énoncée de manière vague stipule que l’existence de métriques extrémales est équivalente à une condition de stabilité de type algébro-géométrique. Toute la difficulté de cette conjecture consiste bien sûr à préciser la condition de stabilité en question.

Pour avoir plus de précision ce domaine, vous pourrez consulter l’excellent survey de Richard Thomas sur l’arxiv, “Notes on GIT”, http://arxiv.org/abs/math/0512411, ou bien le séminaire d’Olivier Biquard au séminaire bourbaki “Métriques kählériennes à courbure scalaire constante”.