La question que le problème de Yamabe pose est la suivante :
Etant donnée une variété Riemannienne compacte (M,g) de dimension n >= 3, trouver une métrique conforme avec courbure scalaire constante.
C'est un problème classique de l'analyse géométrique qui a été résolu en une vingtaine d'années grâce à l'effort de plusieurs mathématiciens(Yamabe, Trudinger, Aubin, Schoen, Yau...).
Dans l'exposé, on donnera les notions de base nécessaires à la compréhension de la formulation du problème et les idées générales de sa résolution. En particulier, on se concentrera sur les aspects
analytiques (espaces de Sobolev sur les variétés, méthode variationnelle) et sur les différences entre dimensions hautes (n>= 6) et petites.
Enfin, on parlera succinctement de quelques résultats plus récents sur le cas non compact des variétés avec singularités cylindriques.