Répartition optimale de plusieurs matériaux élastiques par la méthode des lignes de niveaux

Le problème de la répartition optimale de matériaux élastiques au sein d'une structure fixe a longtemps été au coeur des préoccupations en conception de structures, et a motivé l'élaboration d'outils mathématiques nouveaux (par exemple, en homogénéisation). Dans cet exposé, on s'intéresse à l'impact de la géométrie de l'interface entre plusieurs phases aux propriétés élastiques différentes sur la performance de la structure globale. L'un des problèmes majeurs est que les dérivées de formes impliquées font intervenir les sauts de quantités discontinues à travers cette interface, qui sont très difficiles à évaluer numériquement avec précision. Pour pallier cette difficulté, on propose un modèle approché, où l'interface "sèche" entre les différents matériaux est "étalée" en une bande d'épaisseur fixe (et petite). Ce changement de point de vue s'appuie sur l'utilisation de la fonction de distance signée, et implique l'étude de sa dépendance par rapport au domaine lui-même. Bien que plus complexe au premier abord, ce nouveau modèle donne lieu à des dérivées de formes plus faciles à utiliser en pratique. On peut montrer qu'il est consistant avec son pendant à "interface sèche". De plus, ce modèle jouit d'un intérêt propre, par exemple pour la modélisation d'interfaces non monotones. Plusieurs exemples numériques sont proposés, qui permettent d'évaluer les performance de l'analyse présentée. Il s'agit d'un travail en collaboration avec G. Allaire (CMAP), G. Delgado (CMAP & EADS) et G. Michailidis (CMAP & Renault).