Homologie des foncteurs des groupes libres vers les groupes abéliens

L’homologie des foncteurs (i.e. l’algèbre homologique dans des catégories de foncteurs) sur une catégorie convenable permet de calculer l’homologie stable des groupes linéaires, des groupes orthogonaux ou des groupes symplectiques. Par contre, l’homologie stable des groupes d’automorphismes des groupes libres à coefficients tordus est peu connue. Selon les cas, on dispose de résultats d’annulation, de plusieurs calculs en bas degré obtenus par Satoh et de classes explicites construites par Kawazumi. L’homologie des foncteurs des groupes libres dans les groupes abéliens devrait permettre de mieux comprendre l’homologie stable des groupes d’automorphismes des groupes libres à coefficients tordus. Dans cet exposé, après avoir expliqué la motivation précédente à l’étude de cette homologie des foncteurs, je donnerai quelques résultats récents la concernant. D’une part, j’expliquerai que les groupes d’extensions entre foncteurs polynomiaux sur les groupes libres sont les mêmes dans la catégorie de tous les foncteurs et dans la sous-catégorie des foncteurs polynomiaux (résultat obtenu en collaboration avec Djament et Pirashvili) et d’autre part je donnerai le calcul explicite des groupes d’extensions entre les puissances tensorielles composées avec l’abélianisation.