On considère un opérateur auto-adjoint $H0$ dont le spectre est absolument continu, et l’opérateur perturbé H défini par $H = H0 + V$ où $V$ est l’opérateur de multiplication par la fonction à valeurs complexes $V$. Par exemple, l’opérateur de Schrödinger : $H = −∆ + V$. Sous l’hypothèse que $V ∈ L^p(R^d; C)$, nous savons que $V$ est une perturbation relativement compacte de $H0$, donc $σ{ess}(H) = σ{ess—(H0)$ et les points d’accumulation d’une suite de valeurs propres de $H$ appartiennent à $σ{ess}(H0)$.
Comme $V$ est à valeurs complexes, $H$ n’est a priori pas auto-adjoint, donc l’ensemble $σd(H)$ des valeurs propres de $H$ est inclus dans $C \ σ{ess}(H0)$. Dans cet exposé, je vais donner des informations quantitatives sur le comportement des valeurs propres au voisinage de $σ{ess}(H0)$ sous forme d’inégalité de type Lieb-Thirring. En particulier, nous nous intéresserons à l’opérateur de Dirac $Dm = −i \sumk \alphak \partial{xk} +m \beta$ et au Laplacien fractionnaire $H_0 =(−∆)^s$ avec s>0. Pour obtenir nos résultats, nous utilisons principalement un résultat de type Blaschke sur les zéros d’une fonction holomorphe. Si nous avons le temps, je présenterai une autre méthode basée sur un résultat d’analyse fonctionnelle.