Topologie des germes de surfaces complexes

On définira le type topologique d’un germe (X,p) de surface complexe et on expliquera qu’il ne dépend que de son ”bord” que l’on notera M. Dans la premi`ere partie de l’expose, on supposera que p est un point singulier isol ́e. Dans ce cas le ”bord” de (X,p) est une trois vari ́et ́e graph ́ee au sens de Waldhausen. On donnera des exemples. On présentera des résultats classiques de D. Mumford, F. Hirzebruch et W. Neumann. En particulier le r ́esultat de D. Mumford: Si le ”bord”, M, de (X,p) est simplement connexe alors (X,p) est lisse au point p. Dans la seconde partie on supposera que le lieu singulier de (X, p) est un germe de courbe (Γ,p). On décrira la topologie de M en fonction du bord M ̃ de la normalisation ν : (X ̃,p′) → (X,p) de (X,p). On montrera que M est une trois variété topologique si et seulement si (X,p) est localement irr ́eductible le long de Γ \ p. On énoncera la conjecture de D.T. Lˆe. Quand M n’est pas une variété topologique, on expliquera les types de singularités que M peut avoir (en fait il n’y a que deux types possibles). On donnera des exemples. Dans une troisième partie on supposera que (X, 0) est un germe de surface en l’origine de C3 avec un lieu singulier non-isolé. Dans des travaux communs avec A.Pichon on montre que le bord de la fibre de Milnor est aussi une trois vari ́et ́e graph ́ee au sens de Waldhausen et en g ́en ́eral non-hom ́eomorphe au bord de sa normalisée.