Chemins et équations différentielles rugueuses

Nom de l'orateur
Ismaël Bailleul
Etablissement de l'orateur
IRMAR, université de Rennes
Date et heure de l'exposé
Lieu de l'exposé
salle de séminaire

La théorie des chemins rugueux a été inventée il y a une quinzaine d'années par T. Lyons et pose un cadre nouveau pour l'étude des équations différentielles déterministes contrôlées par des signaux peu réguliers. Itô avait inventé un tel cadre dans les années 40 pour donner un sens et résoudre des équations différentielles stochastiques, contrôlées par un mouvement brownien, étendu depuis dans sa plus grande généralité via la théorie de l'intégrale stochastique. En dépit de sa grande flexibilité, cette notion d'intégrale souffre de l'avantage qui fait sa force : le fait qu'il s'agisse d'une construction purement probabiliste, qui repose dans ses fondements sur la notion de martingale. Les besoins de la modélisation ont cependant fait apparaître la nécessité d'un cadre dans lequel donner un sens et résoudre des équations différentielles de la forme

(1) dy = f(y) dx

pour des signaux xt qui ne soient pas des semi-martingales. C'est un tel cadre qu'offre la théorie des chemins rugueux pour l'étude d'équations déterministes de la forme (1), et dont la morale première est le fait qu'il faut plus que le seul contrôle (xt) pour donner un sens et résoudre l'équation (1). Dans son cadre le plus simple, il faut adjoindre à (xt) la donnée a priori de quantités jouant le rôle des intégrales itérées :de x contre lui-même, dépourvues de sens pour un chemin (xt) trop irrégulier. En contre-partie de cette complication de la notion de contrôle, la solution de (1), lorsqu'elle est unique, s'avère être une fonction continue du contrôle (x,X), un gain formidable lorsqu'on sait que la solution d'une équation différentielle stochastique n'est qu'une fonction mesurable du mouvement brownien, sans qu'il soit possible de dire mieux en toute généralité.

La théorie a maintenant atteint un stade de maturité qui en permet un abord élémentaire. J'en expliquerai une approche possible et décrirai quel genre de bénéfices la continuité de l'application 'solution' apporte.