Dans ce cours on présentera une série de résultats obtenus ces dernières années par M. Banagl, G. Friedman, G. Laures, J. McClure et par l'orateur en collaboration avec M. Saralegui et D. Tanré. Ces résultats portent sur les structures multiplicatives de la cohomologie d'intersection ainsi que sur de possibles fondations homotopiques pour cette dernière.
cours 1: Homologie d'intersection des espaces stratifiés L'homologie d'intersection introduite par Goresky et MacPherson est une théorie homologique définie pour les espaces stratifiés qui vérifie des propriétés d'invariance topologique et restaure la dualité de Poincaré dans un cadre d'espaces singuliers. On présentera dans ce premier exposé les propriétés de base de l'homologie d'intersection (invariance topologique, dualité de Poincaré). On en donnera une construction de l'homologie d'intersection à l'aide de simplexes singuliers filtrés.
cours 2: Cohomologie d'intersection On expliquera comment à partir du concept de simplexe singulier filtré, en utilisant un analogue simplicial de de la notion d'éclatement des sous-variétés, on peut construire des cochaines d'intersection. Ces cochaines d'intersection que l'on appelle cochaines de Thom-Whitney calculent la cohomologie d'intersection et portent une structure multiplicative aussi riche que les cochaines singulières usuelles. Ces structures permettent de répondre à une série de problèmes posés par Goresky et McPherson.
cours 3: Dualité de Poincaré en homologie d'intersection On abordera le problème de la dualité de Poincaré entre homologie et cohomologie d'intersection. En particulier, on montrera l'existence d'un cap produit entre cochaines de Thom-Whitney et chaines d'intersection singulières. Enfin, on expliquera comment la dualité de Verdier apporte un éclairage intéressant sur les différentes cohomologies qui apparaissent en cohomologie d'intersection.