Sur la géométrie de quelques fonctions aléatoires

Nom de l'orateur
Vincent Beffara
Etablissement de l'orateur
UJF Grenoble
Date et heure de l'exposé
Lieu de l'exposé
salle de séminaires

Résumé : Le but de cet exposé est de présenter quelques résultats récents sur les propriétés de certaines fonctions aléatoires issues de la géométrie. Un exemple typique est le suivant : si $\lambda$ est une grande valeur propre du laplacien sur la sphère $S^2$, l’espace propre correspondant est de grande dimension, et on peut y choisir une fonction propre aléatoirement suivant la mesure gaussienne standard ; on s’intéresse alors aux propriétés asymptotiques de cette fonction $\phi\lambda$ dans la limite $\lambda \to \infty$. En particulier, on peut se demander quelle est la structure du domaine ${z : \phi\lambda(z) > 0}$ : est-il formé d’une multitude de petites composantes connexes, ou bien comporte-t-il une composante dont la taille reste d’ordre $1$ pour $\lambda$ grand ? Cette question précise reste ouverte, mais j’expliquerai comment on peut appliquer des méthodes issues de la théorie de la percolation pour l’attaquer, et obtenir des résultats pour des modèles reliés.

Travail effectué avec Damien Gayet (Institut Fourier, Université Grenoble-Alpes).

Et deux illustrations, ci-jointes : la première c’est l’un des modèles reliés dont je parlerai (et que je définirai proprement mais c’était difficile à faire dans un résumé), et la seconde c’est une réalisation de la percolation critique sur le réseau carré. Dans les deux cas, la composante connexe de l’origine est coloriée en rouge.

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