En général, pour un espace topologique quelconque la dualité de Poincaré n'existe pas, Poincaré le savait et a donné un contre exemple à son théorème de dualité : la suspension du tore. Si l'on souhaite restaurer la dualité de Poincaré (à coefficients rationnels) pour des espaces dits singuliers, par exemple les variétés algébriques singulières, on a deux méthodes : - une méthode "algébrique" : la (co)homologie d'intersection, - une méthode "topologique" : les espaces d'intersection.
On se concentrera sur la deuxième méthode. Étant donnée une pseudovariété stratifiée à singularités isolées, on peut lui associer une famille d'espaces topologiques indexées sur un nombre fini d'entiers : la famille de ses espaces d'intersections. La cohomologie réduite rationnelle de cette famille vérifie alors une "dualité de Poincaré généralisée". La première partie de l'exposé sera consacrée à l'introduction des différentes notions nécessaires ainsi qu'à la définition des espaces d'intersection. Dans la seconde partie on verra comment dans certains cas on peut considérer la cohomologie rationnelle dans son intégralité et non plus la réduite en construisant des espaces à dualité de Poincaré rationnelle. Enfin, si le temps le permet on discutera des possibles généralisations des résultats présentés.