Transport optimal et mouvement de foules

Un nombre considérable de modèles macroscopiques ont été introduits ces dernières années pour décrire les mouvements de foules. Nous nous focaliserons sur une classe particulière de modèles, fondés sur des principes rudimentaires en termes de modélisation: chaque individu cherche à réaliser un certain objectif (par exemple sortir d’une pièce au plus vite), mais, du fait de la congestion (deux personnes ne peuvent pas être au même endroit au même moment), la vitesse effective de l’ensemble est assujettie à rester dans un certain ensemble. On définit cette vitesse effective comme la plus proche de la vitesse souhaitée parmi les vitesses admissibles (au sens des moindres carrés). Malgré son indigence, ce modèle possède une structure mathématique assez riche. Nous évoquerons en premier lieu les résultats d’analyse convexe qui permettent d'assurer le caractère bien posé de la version microscopique de ce modèle (les gens sont assimilés à des disques rigides). La version macroscopique du modèle résiste aux outils d’analyse usuels des EDP d’évolution, et nous montrerons comment le cadre du transport optimal permet, en respectant le caractère Lagrangien de la description du mouvement, de transposer au niveau macroscopique certaines techniques a priori réservées à la description microscopique nativement Lagrangienne, et de donner un cadre théorique sain à ce type d’équations d’évolution non lisses. Nous détaillerons les analogies et les différences entre les deux niveaux de description, qui éclairent sur la géométrie de l’espace de Wasserstein (espace des mesures de probabilité muni de la distance associée au transport optimal).