Si (Mn,g) est une variété riemannienne compacte sans bord, la loi de Weyl stipule que
où N(λ) désigne le nombre de valeurs propres (comptées avec multiplicité) de l’opérateur de Laplace-Beltrami inférieures ou égales à λ. Dans cet exposé, je présenterai un travail en collaboration avec L. Ambrosio (SNS Pise) et S. Honda (Tokohu University) dans lequel nous établissons la loi de Weyl sur un espace RCD(K,N) compact, où K ∈ ℝ et N ∈ [1, +∞). Un espace RCD(K,N) est un espace métrique mesuré (complet, séparable et géodésique) sur lequel les propriétés de transport optimal entre mesures de probabilité sont semblables à celles sur une variété riemannienne (Mn,g) telle que Ric g ≥ Kg et n ≤ N et admettant un opérateur laplacien linéaire. Je donnerai les propriétés essentielles de ces espaces - notamment leurs liens avec les Ricci limites - avant d’expliquer l’intérêt de l’étude de la loi de Weyl dans ce contexte et comment on l’établit.