Croissance du volume mixte pour les polytopes convexes et une règle de Cramer pour les systèmes polynomiaux.

Si P1,...,Pn, Q1,...,Qn sont des polytopes convexes à sommets dans le réseau Z^n des points entiers de R^n tels que Pi soit inclus dans Qi pour tout i=1,...,n, alors le volume mixte de (P1,...,Pn) est majoré par celui de (Q1,...,Qn). Dans un travail récent avec Ivan Soprunov (Cleveland University), nous caractérisons les paires de n-uplets de polytopes pour lesquelles cette inégalité est stricte. Le lien fondamental entre volume mixte et systèmes polynomiaux est le théorème de Bernstein-Kouchnirenko qui prédit que le nombre de solutions d'un système polynomial de polytopes de Newton P1,...,Pn est génériquement égal au volume mixte de ces polytopes. On utilise notre critère pour obtenir une notion de règle de Cramer pour les systèmes polynomiaux, qui généralise celle connue dans le cas linéaire.