Valeurs propres de Robin sur des domaines à coins

Soit U un ouvert borné du plan. On étudie les valeurs propres du Laplacien dans U avec les conditions de Robin Dn u=A u où Dn est la dérivée normale sortante et A>0 est un grand paramètre. On s'intéressera au régime asymptotique quand le paramètre A devient grand. Plusieurs auteurs ont étudié ce problème quand U est à bord lisse: dans ce cas le comportement des valeurs propres est géré par l'opérateur effectif T-AK agissant sur le bord de U, où T est le Laplacien 1D et K est la courbure. Notre but est de comprendre l'asymptotique des valeurs propres quand U est un domaine à coins (polygone curviligne). On introduit la notion d'un coin non-résonant (les coins dont l'ouverture est supérieure à \pi/2 possèdent cette propriété) et on l'utilise pour construire l'opérateur effectif: si tous les coins sont non-résonants, cet opérateur à la même expression que dans le cas lisse mais avec une condition de Dirichlet à chaque sommet. On discutera également certains liens entre notre problème, la théorie spectrale des variétés à bouts cylindriques et les valeurs propres des Laplaciens dans domaines convergeant vers un graphe. Ce travail est une collaboration avec Magda Khalile et Thomas Ourmières-Bonafos (Orsay).