Analyse numérique d’un schéma aux différences finies pour l’équation de Korteweg-de Vries et le système $abcd$

L’équation de Korteweg-de Vries (KdV) est une équation dispersive nonlinéaire fréquente en hydrodynamique pour modéliser le mouvement des vagues de faible amplitude en eau peu profonde. Nous proposons de discrétiser cette équation par un schéma numérique aux différences finies et étudions la convergence du schéma par une analyse de stabilité $\ell^2$ et d’erreur de consistance. L’ordre de convergence du schéma est quantifié par rapport à la régularité de Sobolev de la donnée initiale. La partie la plus délicate consiste à élaborer une méthode d’étude de stabilité $\ell^2$ qui convienne simultanément au terme nonlinéaire hyperbolique et au terme linéaire dispersif, tous deux présents dans l’équation (KdV). Dans une seconde partie, nous généralisons cette étude au système $abcd$ de type Boussinesq décrivant lui aussi le mouvement des vagues de faible amplitude à la surface de l’eau. Ce travail est en collaboration avec Cosmin Burtea, Frédéric Lagoutière et Frédéric Rousset.