Sur une classe d'instantons gravitationnels

Un instanton gravitationnel est une vari\'et\'e riemannienne orientée complète $(M, g)$ de dimension 4, dont le tenseur de Ricci est nul et dont la courbure s'annule à l'infini. Les instantons gravitationnels considérés dans cet exposé ont en outre les propriétés suivantes: (1) le comportement à l'infini est de type ALF; (2) le tenseur de Weyl $W^+$ est dégénéré et non-nul, i. e. admet une valeur propre double non-nulle, ce qui implique que $(M, g)$ est conformément kaehlérienne; (3) $(M, g)$ est torique. Exemples connus de tels instantons gravitationnels: les espaces de Kerr riemanniens, incluant les espaces de Schwarzschild riemanniens; les espaces de Kerr-Taub-bolt, introduits par G. W. Gibbons et M. J. Perry en 1980, incluant en outre la métrique Taub-NUT autoduale et la métrique de Taub-bolt; les instantons découverts en 2011 par Yu Chen et Edward Teo. Dans ce travail, nous montrons que les instantons gravitationnels de cette classe sont entièrement déterminés, à changement d'échelle près, par une fonction convexe affine par morceaux, définie sur la droite réelle. Via cette description, nous montrons que les seuls instantons lisses de cette classe sont les exemples cités ci-dessus, mais qu'il existe en revanche une infinité d'exemples non-difféomorphes admettant des métriques à singularités coniques. Travail commun avec Olivier Biquard.