Dans cet exposé, nous répondrons à un problème d'analyse numérique : quelles sont les relations d'ordre pour les méthodes de type Runge-Kutta ? Cette question à vite trouvée une réponse pour les premiers ordres (1,2,3) et il s'agit ici de trouver une réponse pour les ordres plus élevé. Après des rappels sur les méthodes de Runge-Kutta et des relations d'ordres, nous introduirons les séries de Butcher (B-série), un objet algébrique découvert spécifiquement pour répondre à cette question, établissant un pont entre l'analyse numérique et l'algèbre. Ces objets ayant trouvé plus récemment une application en théorie quantique des champs, ceci me permet d'affirmer que l'analyse numérique, c'est quantique !
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In this talk, we answer a problem in numerical analysis: what are the order relations for Runge-Kutta methods? This question find rapidly an answered for the first orders (1,2,3), and the aim here is to find an answer for higher orders. After reviewing Runge-Kutta methods and order relations, we'll introduce Butcher series (B-series), an algebraic object discovered specifically to answer this question, bridging linking numerical analysis and algebra. As these objects have more recently found application in quantum field theory, I'm happy to say that numerical analysis is quantum !