Des structures Calabi-Yau aux théories topologiques des champs

Le principe de Kontsevich-Rosenberg consiste à définir et comprendre des structures sur les algèbres associatives qui induisent des structures géométriques classiques sur leurs espaces de représentations. Les premières sont appelées versions "non-commutatives" des secondes. Ainsi, par exemple, les structures bisymplectiques introduites par Crawley-Boevey, Etingof et Ginzburg forment le pendant non-commutatif des structures Hamiltoniennes ; les structures double Poisson de Van den Bergh celui des variétés Poisson. Plus tard, dans le contexte des algèbres différentielles graduées, Brav et Dyckerhoff ont montré que l'analogue non-commutatif des structures symplectiques consistait en des structures dites Calabi-Yau (CY). Dans cet exposé je motiverai cette terminologie, expliquerai une version relative qui donne des structures lagrangiennes, comment on peut s'inspirer de la géométrie symplectique "traditionnelle" pour obtenir de nouveaux exemples, et enfin comment ces structures CY définissent une TFT qui factorise celle des structures lagrangiennes qui participe au formalisme AKSZ. C'est un rapport sur des travaux réalisés avec Damien Calaque et Sarah Scherotzke.