Le discriminant des polynômes homogènes F de degré d en n+1 variables est un polynôme en les coefficients de F qui s'annule si et seulement si l'hypersurface projective V(F) est singulière. Avec Laurent Busé nous introduisons un discriminant réduit : c'est un polynôme en les coefficients des polynômes F tels que l'hypersurface V(F) possède un point de multiplicité s en un point fixé de l'espace projectif, qui s'annule si et seulement si V(F) possède des singularités supplémentaires.
Je décrirai des propriétés d'homogénéité du discriminant réduit pour différentes graduations sur l'anneau des coefficients des polynômes F, obtenues en adaptant des résultats de Zariski (1937). Ceci permettra d'établir une mystérieuse formule énoncée par Salmon en 1862. J'expliquerai ensuite, suivant Salmon lui-même, comment appliquer cette formule à des questions de géométrie projective énumérative, par exemple au calcul du nombre de plans bitangents à une surface de P^3 passant par un point fixé.