Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Dans cette présentation, nous rappelons brièvement quelques résultats de la théorie de Freidlin et Wentzell puis nous donnons une loi de Kramers satisfaite par la diffusion de McKean-Vlasov quand le potentiel de confinement est uniformément strictement convexe. On présente brièvement deux précédentes preuves de ce résultat avant d'en donner une troisième qui est plus simple, plus intuitive et moins technique. Enfin, nous donnons des idées pour obtenir la loi de Kramers quand le potentiel de confinement est non convexe.

Le travail que je vais présenter porte sur la résolution numérique du modèle multi--dimensionnel d'écoulement cisaillé en eau peu profonde. Dans le cas d'un mouvement unidimensionnel, ces équations coïncident avec les équations de la dynamique de gaz pour un choix particulier de l'équation d'état. Dans le cas multi-dimensionnel, le système est complètement différent du modèle de la dynamique de gaz. Il s'agit d'un système EDP hyperbolique 2D non-conservatif qui rappelle un modèle de turbulence barotrope. Le modèle comporte trois types d'ondes correspondant à la propagation des ondes de surface, des ondes de cisaillement et à celle de la discontinuité de contact.

La migration cellulaire est un processus biologique complexe de la vie des cellules et qui intervient de façon importante lors du développement du cancer. Son étude constitue un enjeu de santé publique majeur permettant, à terme, d'envisager de nouveaux types de thérapies ciblées ainsi qu'une meilleure compréhension de la maladie. Le travail que je vais présenter se concentre sur le rôle des microtubules, qui sont des éléments dynamiques du cytosquelette sur la migration. Je détaillerai tout d'abord la modélisation EDP que nous avons développée pour décrire l'action des microtubules puis les différents outils numériques de type DDFV que nous avons mis en place pour la résolution des équations.

Dans cet exposé nous traiterons de l'approximation numérique d'un modèle de plasma quasi-neutre dans le régime de dérive. Plus précisément, on introduira un schéma de volumes finis utilisant des grilles décalés pour l'approximation du système d'Euler-Boltzmann quasi-neutre. Le régime de dérive correspond à la limite du système lorsque qu'un petit paramètre tend vers zéro. On montrera que le schéma ainsi introduit est inconditionnellement stable.

Cet exposé traitera de modèles d'EDPs avec contraintes issues de la mécanique des fluides qui permettent de décrire en temps et en espaces des systèmes physiques et/ou biologiques complexes au travers de quantités physiques telles que la densité et la vitesse. La première partie de l'exposé sera consacrée à la présentation d'une approche numérique explicite/implicite basée sur un splinting en temps qui permet d'alléger la contrainte de stabilité (CFL) pour le système de trafic routier d'Aw-Rascle avec contrainte.

Nous étudierons le modèle de régression linéaire usuel dans le cas où le processus des erreurs est supposé strictement stationnaire.

Dans cet exposé nous présenterons une classe de processus ponctuels spatiaux sur R^d utilisés pour modéliser des données au caractère répulsif, appelés processus ponctuels déterminantaux (ou DPP). Nous nous intéresserons en particulier à la propriété de dépendance négative des DPPs. Peu exploitée dans la littérature des processus ponctuels, nous montrerons en quoi elle implique des propriétés de alpha-mélange ainsi qu'un TCL pour une grande classe de fonctionnelles de DPPs éventuellement non-stationnaires, plus fort que les TCLs usuels des processus ponctuels alpha-mélangeants.

Nous présenterons des schémas numériques pour résoudre des modèles de type Saint-Venant dont le problème en vitesse est une inéquation variationnelle. Ce type de formulation intervient lorsque l’on s’intéresse à des écoulements de matériaux viscoplastiques, par exemple en géophysique (glissement de terrain, avalanche de neige dense pouvant être décrits par une loi de type Bingham). Nous illustrerons cela sur des topographies satellite 2D en présence de fronts secs.

Nous nous focalisons sur le problème d'eau salée dans les aquifères costaux. La dérivation du modèle est basée sur le couplage de la loi de Darcy et du principe de conservation de la masse écrit pour le domaine de l'eau douce et pour celui de l'eau salée. Le modèle final obtenu grâce à l'approche mixte entre interface diffuse et interface abrupte a l’avantage de respecter la physique du problème tout en conservant l’efficacité numérique. Je vous parlerai de la modélisation du problème, des résultats théoriques obtenus et des simulations numériques sur la comparaison du modèle 2D&3D.