Séminaire des doctorants (archives)

Les opérateurs de Schrödinger se sont imposés comme un incontournable dans la physique des particules. Après avoir donné une motivation physique de l'étude spectrale de tels opérateurs dans la limite dite semi-classique, je présenterai dans mon exposé les estimées L^p de Koch, Tataru et Zworski. Ces bornes donnent une description de la concentration des fonctions propres des opérateurs de Schrödinger dans l'espace euclidien. Elles se généralisent, dans un travail en cours, à des familles orthonormales de fonctions propres.

Glioblastoma Multiforme (GBM) is the deadliest and the most frequent brain tumour, only 5% of patients survive more than 5 years after being diagnosed. Patients go through emergency surgery and are being treated with both chemotherapy (Temozolomide) and radiotherapy. But those treatments still remain inefficient with that cancer because of the cellular heterogeneity. In this work, the goal is to model and simulate the evolution of the tumorigenesis and the therapeutic response of the GBM. Multiple phenomena are modelled: tumour diffusion, chemotaxis, haptotaxis and reaction.

On donne des conditions suffisantes pour qu'une variété riemannienne à poids possède une inégalité de Fefferman-Phong. On discutera aussi brièvement d'une généralisation de ce résultat, et de quelques conséquences.

Le problème consistant à savoir si on peut placer une table de pique-nique sur un sol continu, de telle sorte que tous ses pieds touchent le sol, est plus subtil qu'il n'y paraît. On y apportera une réponse grâce à un théorème de Dyson sur les fonctions continues sur la sphère euclidienne de dimension 2 à valeurs dans R, dont on présentera une preuve n'utilisant que des notions élémentaires de topologie. Si le temps nous le permet, on utilisera un résultat similaire, le théorème de Borsuk-Ulam, pour montrer qu'on peut d'un unique coup de couteau, couper à la fois le pain, la tomate et la salade d'un sandwich en quantités égales.

Après une présentation des techniques classiques employées pour l'étude des équations de Schrödinger linéaires et non-linéaires usuelles, on s'intéressera à une équation de Schrödinger non-linéaire particulière issue de la mécanique Bohmienne (théorie déterministe de la mécanique quantique) présentant deux non-linéarités logarithmiques : étude de solutions particulières (gaussiennes), existence locale de solutions, comportement en temps long, comportement numérique, etc... L'accent sera notamment mis sur le lien entre équation de Schrödinger et mécanique des fluides quantique.

De l'ADN aux plastiques, en passant par les protéines ou encore le caoutchouc, ces molécules complexes partagent une même structure de chaîne qui leur fait porter le nom de "polymères". On peut les décrire mathématiquement par une grande classe de modèles, ce qui permet d'étudier les phénomènes biophysiques ou chimiques dans lesquels ils sont impliqués (comme l'adsorption d'un polymère à une surface, ou la (dé)-naturation d'un polymère). L'objectif de cet exposé est de présenter quelques modèles basiques, qui sont soumis à des phénomènes appelés "transitions de phase". À travers ces modèles, nous décrirons ce que ces "transitions" représentent physiquement pour la molécule, et comment nous pouvons les mettre en évidence mathématiquement.

Après une présentation des invariants de legendriennes à bord, incluses dans une variété de contact à bord suturé, je traiterai deux exemples issus de la construction conormale, illustrant les liens entre invariants topologiques et invariants de contact. Tout d'abord, je montrerai que l'homologie d'une fibre dans le complémentaire du conormal d'un noeud hyperbolique détermine le noeud. Si le temps le permet, j'exposerai aussi le cas des 2-tresses locales, qui sont déterminées par leurs conormaux.

Given an ordinary differential equation A(x,y)dx + B(x,y)dy = 0, its solutions f(x,y) define a decomposition of the plane outside the zeros of A(x,y) and B(x,y) into regular curves. This is a prototype of a foliation, the leaves being the solutions of the given differential equation. In general, a foliation will be a generalization of this concept, i.e. instead of taking one equation, we take a system of equations, and to have solutions we demand an integrability condition. In this talk, I will introduce the concept of holomorphic foliation and give a characterization of regular foliations on rational surfaces.

L’équation de Landau est un modèle cinétique utilisé pour la modélisation des plasmas. Elle décrit l’évolution de la fonction de densité des particules F(t,x,v) à un temps t, une position x et une vitesse v. En particulier, l'équation de type Landau linéaire est une équation cinétique inhomogène dont l’étude est motivée par la linéarisation de l’équation de Landau près d’une Maxwellienne. Dans cet exposé, on va étudier l’hypoellipticité et les propriétés spectrales associées à l'opérateur de type Landau (localiser le spectre et estimer la résolvante).