Séminaire de géométrie (archives)

Une cône-variété est une variété riemannienne dont la métrique présente des singularités de type conique, i.e. est asymptotique à celle du produit d'un cône avec un ouvert de R^n. De tels objets apparaissent naturellement en géométrie hyperbolique, en géométrie complexe, et en physique théorique. Dans cet exposé je présenterai les résultats récents sur l'existence de métriques coniques Einstein, dans le cas Kähler, où le problème est bien compris, et dans le cas réel, où l’on connaît beaucoup moins de choses au-delà de la dimension 3.

TBA

La factorisation de Birkhoff consiste, étant donnée une fonction G du cercle unité S^1 dans GL_N, à trouver deux fonctions à valeurs matricielles Y+ et Y- holomorphes respectivement à l'intérieur et à l'extérieur du cercle telles que sur le cercle Y+=(Y-)G.

Nous verrons comment on peut déformer cette factorisation en faisant agir des difféomorphismes du cercle sur G. Ces déformations sont gouvernées par un système intégrable, que l'on appellera système de Schlesinger universel, qui fournit une généralisation de dimension infinie du système de Schlesinger classique (décrivant les déformations isomonodromiques de systèmes fuchsiens).

A la fin des années 60, G. Margulis montre dans sa thèse comment la propriété de mélange du flot géodésique sur une variété compacte de courbure négative (pour une mesure - éponyme) entraîne l'existence d'un équivalent du volume des boules dans le revêtement universel de la variété. Dans un travail récent, nous donnons des conditions nécessaires (et faiblement suffisantes, au sens où il existe des contre-exemples si elles ne sont pas satisfaites) pour que l'existence d'un équivalent asymptotique persiste lorsque l'on considère des variétés de volume fini. Nous motiverons ce travail par une discussion préliminaire, de sorte à s'adresser à un public (relativement) large et nous discuterons également de l'asymptotique de la fonction de comptage du groupe.

J'expliquerai dans cette séance comment les systèmes intégrables permettent d'obtenir des résultats d'unicité en géométrie. Le cadre idéal pour cette technique est l'espace des applications harmoniques périodiques à valeur dans S(2) ou S(3) (i.e. des anneaux et des tores minimaux dans S(2)xR ou S(3)).

L'espace des applications harmoniques périodiques est paramétré par un espace modulaire de surfaces de Riemann hyperelliptiques (courbes spectrales) et de 1-formes méromorphes associées au problème de période via un système intégrable dit "de Lax".

Il existe depuis une quinzaine d'années diverses formules paramétrant les surfaces de R^3 ou R^4 (et quelques autres variétés homogènes) au moyen de quantités «spinorielles», qui vérifient une équation dite de Dirac (travaux de Taimanov, Konopelchenko, Kusner, Schmitt etc.). L'objectif de cet exposé est d'expliquer d'où viennent ces formules et en quoi elles sont reliées à la théorie «classique» des spineurs, notamment aux travaux de Friedrich, Roth et al. sur les spineurs de Killing induits.