Séminaire de topologie, géométrie et algèbre

Le Patchwork combinatoire de Viro est une puissante méthode de construction d'hypersurfaces algébriques réelles avec un contrôle sur la topologie. Les ingrédients de base de cette méthode sont une triangulation à sommets entiers d'un polytope à sommets entiers, et un signe positif ou négatif fixé sur chaque sommet de la triangulation. Dans le cas d'une triangulation primitive des bornes sur les nombres de Betti de l'hypersurface ont été établies (d'abord par Renaudineau et Shaw, puis dans un cadre plus général par Brugallé, Rau, Lopez de Medrano). Ces bornes ne dépendent que de la triangulation. Dans cet exposé, nous présenterons une généralisation non-primitive de ces bornes, et nous expliquerons pourquoi la non-primitivité fait apparaître dans ces bornes des termes dépendant des signes fixés sur les sommets de la triangulation.

Au cours de ces dernières années, la topologie de contact C⁰ a reçu une quantité croissante d'attention avec en ligne de mire les analogues d'un théorème de Laudenbach-Sikorav (étendu par la suite par Opshtein, Opshtein-Buhovsky et Leclercq-Humilière-Seyfaddini) obtenu dans le cadre symplectique. Récemment, Dimitroglou-Rizell et Sullivan ont réussi à démontrer que les sous-variétés legendriennes fermées satisfont une forme de rigidité C⁰. Nous entamons l'étude de la topologie de contact C⁰ pour les sous-variétés de dimension supérieure. En effet, nous étudions l'action des homéomorphismes de contact sur les hypersurfaces des 3-variétés de contact. Nous démontrons que le type d'homéomorphisme du feuilletage (singulier) caractéristique est rigide au contraire de son type de difféomorphisme. Nous construirons également un nœud "sauvage" pour le topologie de contact C⁰.

Il s'agit d'un travail en collaboration en partie avec Maksim Stokić.

Un des premiers problèmes de Géométrie Énumérative étudiés fut le comptage de droites dans hypersurfaces génériques. Par example, on sait qu’une surface cubique générique dans l'espace projectif tridimensionnel contient 27 droites sur le corps des nombres complexes. Dans cet exposé, on se propose d’étudier ce problème sur d'autres corps. La première question à examiner dans ce cas est « comment obtenir des réponses indépendantes de l’hypersurface? ». Sur les nombres réels, chaque droite doit être comptée avec un signe +1 ou -1. En général, les signes deviennent des formes quadratiques. La deuxième question apparaît naturellement: quelle est l’interprétation géométrique de ces formes quadratiques? On explique comment répondre à cette question pour presque tous les corps en généralisant des idées de Finashin et Khalarmov sur les nombres réels. Ce travail est en collaboration avec Sabrina Pauli et Stephen McKean.