Schémas de représentations dérivés et géométrie non-commutative.

Filière
Date de début du stage
Date de fin du stage
Description

En géométrie algébrique classique, il y a un correspondance entre algèbres commutatives et schémas affines ; en géométrie non-commutative on passe aux algèbres associatives (mais non-commutatives). Dans ce cadre, il est souvent difficile de formuler la bonne analogue non-commutative d'une structure géométrique classique ; selon le principe heuristique de Kontsevich et Rosenberg, les schémas de représentations permettent l'étude de structures géométriques d'algèbres non-commutatives (formellement lisses). En passant au cadre dérivé (au sens de l'algèbre homotopique à la Quillen), on peut s'affranchir de l'hypothèse 'lisse'.
Le but de ce stage est d'aborder cette approche à la géométrie non-commutative, d'après Ginzburg et bien d'autres, et d'étudier la version dérivée de la théorie, en suivant les travaux récents de Berest, Felder, Ramadoss et leurs coauteurs (2011 - ). Par ces méthodes, on obtient une notion naturelle d'homologie des représentations et sa version stable, qui est en relation avec l'homologie cyclique.
Pour cela, on utilise la théorie d'algèbre homotopique (catégories de modèles) notamment pour les algèbres différentielles graduées (commutatives) et les foncteurs dérivés à la Quillen.
Un objectif sera d'illustrer cette théorie par l'étude d'exemples explicites, par exemple provenant des algèbres quadratiques et d'étudier les conséquences de la dualité de Koszul, en relation avec les résultats de Feigin et Tsygan sur la (co)homologie cyclique. Plus généralement, on considéra les intersections complètes non-commutatives.
Si le temps le permet, on pourra également étudier les différentes notions de structures de Poisson non-commutatives (dérivées) et d'autres structures géométriques, d'après Crawley-Boevey, Ginzburg, van den Bergh...
Ce stage pourrait donner lieu à une poursuite en thèse.

Prérequis : notions de base en algèbre et algèbre homologique et les définitions élémentaires de la théorie des catégories.

Responsable du stage
Geoffrey Powell
Email du responsable
geoffrey.powell@univ-angers.fr
date de publication