Les opérations cohomologiques telles que les opérations de Steenrod pour la cohomologie singulière à coefficients dans un corps fini sont des outils fondamentaux en topologie algébrique. Leurs analogues en géométrie algébrique, tels que les opérations de Steenrod motiviques (qui agissent sur la cohomologie motivique à la Beilinson ou sur les groupes de Chow) ou bien les opérations sur la théorie des cobordismes algébriques (à la Levine et Morel) étudiées par Vishik (2013), ont eu des applications fondamentales (travaux de Karpenko, Vishik, Voevodsky, Yagita... ) - par exemple à la démonstration de la conjecture de Milnor par Voevodsky.
Le but de ce stage est d'introduire les opérations cohomologiques et d'étudier quelques-unes de leurs applications, en développant la théorie nécessaire. (Le choix de l'application à étudier se fera en fonction des connaissances de l'étudiant.)
Une possibilité serait de s'orienter vers la cohomologie d'espaces classifiants de groupes discrets, de groupes de Lie (ou bien de groupes algébriques). Ici un ingrédient était par Totaro, qui a montré comment introduire la notion d'espace classifiant dans le cadre de la géométrie algébrique, et ainsi ouvert la voie à l'étude des groupes de Chow de ces espaces ; ce contexte a été élargi par les travaux de Morel et Voevodsky en théorie d'homotopie motivique. Totaro a également raffiné la notion de l'application cycle, établissant ainsi une relation profonde avec les théories de cohomologie généralisée.
L'étude des nouvelles techniques provenant de la géométrie algébrique, telle que les méthodes de stratification, est particulièrement intéressante. Par exemple, on pourrait étudier la filtration coniveau de la cohomologie des groupes, suivant Yagita (2010).
Prérequis : connaissances de base en topologie algébrique ; pour étudier les théories cohomologiques pour les variétés algébriques, quelques éléments de géométrie algébrique serait utile.
(Si ce sujet s'avérait être trop ambitieux, on se concentrerait sur les aspects purement topologiques.)
Ce stage pourrait donner lieu à une poursuite en thèse.