L'étude des systèmes hyperboliques est motivée par de nombreuses
applications physiques : l'éléctromagnétisme, l'élastodynamique, la
mécanique des fluides etc. Pour tous ces problèmes, la simulation
numérique est un outil indispensable dans des contextes industriels.
De telles simulations requièrent une bonne compréhension des
conditions aux limites numériques qu'on est en droit d'imposer, soit
pour coller à la modélisation physique soit parce que le domaine de
simulation doit être tronqué artificiellement.
Le but du mémoire est d'aborder la théorie des problèmes aux limites
pour les discrétisations de systèmes d'équations aux dérivées partielles
hyperboliques. On étudiera dans un premier temps les discrétisations
d'un tel système par des méthodes de différences finies en l'absence
de frontières. On étudiera ensuite l'influence des conditions aux
limites numériques lorsque le domaine de simulation est une demi-droite,
le but de la théorie étant de caractériser (par une condition nécessaire et
suffisante) la stabilité d'un schéma par une condition de type algébrique
sur une famille de sous-espaces vectoriels. Cette condition est
dûe, dans ce contexte, à Gustafsson, Kreiss et Sundström.
Ce stage pourrait donner lieu à une poursuite en thèse.