L'étudiant apprendra les rudiments de la géométrie de contact et étudiera les sous-variétés legendriennes des espaces de jets. Après avoir étudié les invariants classiques de celles ci il s'attellera à comprendre la construction d'invariants plus poussés provenant des courbes pseudo-holomorphes (il étudiera l'aspect combinatoire en basse dimension dans [Che] et aussi l'aspect plus géométrique de [EES]). Une fois comprise la construction de cet invariant, il étudiera comment extraire des invariants de dimension fini en étudiant les linéarisations des algèbres différentielles graduées semi-libres. Le cas échéant, il définira la catégorie d'augmentations d'une sous-variété legendrienne apparaissant dans [BC].
Ce sujet devrait rapidement amener l'étudiant à considérer des questions récentes et à utiliser des méthodes actives de la géométrie de contact.
Possibilité de prolongement en thèse.
Sujet de thèse proposé:
En utilisant le modèle des complexes tordus pour la catégorie dérivée d'une catégorie A-infini tel que décrit dans [Sei], l'étudiant cherchera à trouver des générateurs de la catégorie d'augmentations en terme d'objets géométriques simples. Notamment, il travaillera sur la conjecture suivante: toute catégorie dérivées de la catégorie d'augmentations d'une sous-variétés legendriennes est équivalente à la catégorie dérivée de celle engendrée par un entrelacs formé de sphères de Whitney.
De plus l'étudiant pourra étudier les relations algébriques découlant des divers représentations géométriques de celle-ci par le biais des "n-copies" translatées (soit très proches, soit très loin).
L'étude des catégories A-infini en géométrie symplectique est un sujet extrêmement actif, utiliser celles-ci dans la cadre des sous-variétés legendrienne est relativement récent et offrira à l'étudiant un sujet prometteur encore relativement vierge de résultats même au niveau structurel.
[BC]: F. Bourgeois, B. Chantraine; "Bilinearised Legendrian contact Homology and the augmentation category", 2012. [Che]: Y. Chekanov; "Differential algebra of Legendrian links", 2002. [EES]: T. Ekholm, J. Etnyre, M. Sullivan; "The contact homology of Legendrian submanifolds in R^{2n+1}", 2005. [Sei]:P. Seidel; "Fukaya categories and Picard-Lefschetz theory.", 2008.