Introduction au monde des équations Hamiltoniennes.

Filière
Date de début du stage
Date de fin du stage
Description

Le stage consistera en une introduction au monde des équations hamiltoniennes, et des équations aux dérivées partielles hamiltoniennes. Ce stage pourra déboucher sur une thèse (On peut aussi envisager directement la thèse).

Le principe est de développer des outils issus du monde des systèmes dynamiques de dimension finie (la mécanique céleste par exemple) pour le transposer dans le monde des équations aux dérivées partielles (EDP) non linéaires (l'équation des ondes non linéaire par exemples). Le but est d'en déduire le comportement dynamique des solutions (la stabilité par exemple).

Pour le stage comme pour la thèse, je propose d'aller plus spécifiquement dans la direction de l'instabilité : le but serait de construire des solutions instables de certaines EDP Hamiltoniennes non linéaires en concrétisant les phénomènes de résonances présents dans la théorie des formes normales. Par exemple, pour un système couplant de manière non linéaire deux oscillateurs harmoniques (pendules) ayant des fréquences d'oscillation rationnellement dépendantes, il est simple de construire des solutions qui échangent périodiquement de l'énergie entre les deux oscillateurs (conséquence du couplage non linéaire). Le problème est de transposer ce genre de phénomène à la dimension infinie. Des cas ont déjà été traité, le stage consisterait à les comprendre. La thèse consisterait quant à elle à développer d'autres exemples dans le but de s'attaquer à quelques problèmes ouverts en EDP non linéaires comme les phénomènes de cascade ou de croissance de norme…

En pratique vous seriez intégré à notre petit groupe (B. Grébert (PR), E. Paturel (MCF), L. Thomann (MCF)) qui travaille sur les EDP hamiltoniennes au sein du Laboratoire Jean Leray.

Bibliographie : http://arxiv.org/abs/math/0604132 (cours donné lors d'une école d'été).

Responsable du stage
Benoît Grébert
Email du responsable
benoit.grebert@univ-nantes.fr
Nom stagiaire
Victor Vilaca Da Rocha
date de publication