La cathégorie de Fukaya d'une surface de Riemann S est une catégorie dont les objets sont les courbes plongées homotopiquement non triviales et les morphismes sont les points d'intersection. Sur les morphismes de la catégorie de Fukaya il y a une infinité d'opérations mk qui, pour toutes (k+1)-uples d'objets L0, ..., Lk, donnent des applications mk: Hom(L0, L1) \otimes ... \otimes Hom (L{k-1}, Lk) \to Hom(L0, Lk) satisfaisant des relations d'associativité (on parle de catégorie A-infini).
Les opérations mk viennent des applications holomorphes du disque dans S qui envoient le bord sur les courbes Li. Par le théorème de l'application conforme, si les Li sont distincte, les operations mk viennent d'un compte de polygones immergés dans S et donc ont une nature combinatoire. Le but du stage est de comprendre la partie combinatoire de la catégorie de Fukaya d'une surface en suivant le chapitre 13 du livre « Fukaya Categories and Picard-Lefschetz theory » de Paul Seidel.
Possible poursuite en thèse : Quand il y a des courbes répétées, le théorème de l'application conforme de suffit plus parce que il y a des polygones constants qui se cachent dans les points d'intersection, mais par contre c'est probable que les opérations correspondent soit encore combinatoires. L'étudiant devrait calculer les opérations m_k en présence de courbes répétées. Cas par cas on peut faire apparaître ces polygones cachés par une perturbation des courbes (où, ce qui est équivalent) de l'équation de Cauchy-Riemann et donc il s'agirait de faire ces perturbations de façon cohérente.