À tout nœud K dans S^3, Ng (oui, il a vraiment un nom sans voyelles !) associe par des constructions de géométrie symplectique, une algèbre graduée HC*(K) (avec * \ge 0). La définition de HC*(K) utilise des techniques analytiques, mais son terme de dégré zero HC_0(K) peut être décrit de façon algébrique à partir du groupe fondamental du complémentaire du nœud. Le but du stage serai de comprendre la définition algébrique de HC_0(K) et comment d'elle on peut extraire beaucoup d'invariants classiques du nœud. La référence de base est « A topological introduction to knot contact homology » par Lenny Ng, qui peut être téléchargé à l'adresse http://arxiv.org/abs/1210.4803. Pour un lien entre cette théorie et la physique un étudiant motivé pourrait ainsi regarder « Notes on topologial strings and knot contact homology » par Tobias Ekholm, qui peut être téléchargé à l'adresse http://arxiv.org/abs/1312.0800 (cela ne fera partie du stage !).
Possible poursuite en thèse : Un homomorphisme d'algèbre de HC0(K) à l'anneau de base est dit une augmentation. Par un argument de Bourgeois et Chantraine (le second est MdC à Nantes), les différentes augmentations de HC*(K) peuvent être organisées dans une catégorie qui, à équivalence près, est un invariant du nœud. À ma connaissance c'est le premier exemple d'un invariant de nœuds à valeurs dans une catégorie. L'étudiant devra étudier l'effet des opérations standards en théorie de nœuds (cablage, satellite, mutation...) sur cette catégorie.