Mémoire M2 : Les nombreux liens entre la théorie de système intégrables et les polynômes orthogonaux constituent un sujet de recherche très populaire depuis l'article de Moser "Finitely many mass points on the line under the influence of an exponential potential -- an integrable system" (1975). Dans les dernières années, plusieurs nouveaux thématiques ont été traités, dont l'étude des système intégrables associés aux matrices CMV (Cantero, Moral, Velazquez), l'étude des équations de Painlevé discrètes, et l'extension de plusieurs résultats au cas des polynômes matriciels et des équations non commutatives.
Le but du mémoire est d'écrire une introduction au sujet qui comprenne anciens et nouveaux résultats, en utilisant comme point de départ la théorie des équations de Toda et d'Ablowitz-Ladik, leur intégrabilité et leur formulation en terme d'opérateurs de Lax. Ce mémoire, le cas échéant, pourra être le point de départ pour le sujet de thèse ci-dessous. Certains des thématiques indiqués pour la thèse peuvent être abordés déjà pendant le mémoire.
Thèse : Les équations de Painlevé constituent un des plus important types d'équations intégrables étudiés en physique et mathématique. En utilisant la formulation du problème de Riemann-Hilbert associé aux polynômes orthogonaux matriciels proposé par F. A. Grünbaum, M. D. de la Iglesia et A. Martinez-Finkelshtein (2012), on se propose de prouver que certains quantités associés à ces polynômes (les coefficients de la matrice de Jacobi associé) satisfont des versions non-commutatives des équations de Painlevé. Le but de la thèse, donc, c'est de trouver, après les cas étudiés par Retakh-Roubtsov (2012), Bertola-Cafasso (2012), Cafasso-de la Iglesia (2013), de nouveaux exemples de ce type d'équations.