Introduction à la théorie KAM

Le but de ce stage de Master 2 sera de se familiariser avec la théorie KAM classique (en dimension finie) et de commencer à réfléchir à son extension en dimension infinie, ce qui pourra déboucher naturellement sur une thèse. Plus précisément le stage s’articulera de la manière suivante : (i) Un cours accéléré de mécanique Hamiltonienne (si nécessaire) qui pourra s’appuyer sur le livre de Wiggins cité en référence [W]. (ii) Une étude des notions plus spécialisées : tores invariants, petits diviseurs, résonances... (iii) Une démonstration complète du théorème originel de Kolmogorov dans une version récente et très élégante due à Hubbard et Ilyachenko (voir [HI]). (iv) Une première approche des problèmes de la dimension infinie (Résonances, conditions de Melnikov, espaces fonctionnels...) autour du cas relativement simple de l’équation de Schrödinger non linéaire sur le cercle (voir [G, K]. Aucun prérequis spécifique n’est demandé hormis une base solide en analyse réelle et complexe et en analyse de Fourier.