Géométrie kaehlérienne et métriques canoniques

Les variétés projectives complexes possèdent une structure naturelle de variété kaehlérienne : comme l’espace projectif possède une métrique naturelle, la métrique de Fubini-Study, on en déduit une métrique de Kaehler induite sur la variété projective appelée métrique de Bergman. Cependant, une telle métrique n’est définie qu’à l’action près du groupe linéaire qui agit sur l’espace projectif complexe, et donc sur la métrique. Cette action donne un nombre fini de degrés de liberté. Plus généralement, on peut perturber toute métrique kaehlérienne par un potentiel (ie une fonction) et l’espace des métriques kaehlériennes est ainsi de dimension infinie. Une question légitime est donc de se demander si il existe une métrique kaehlérienne privilégiée. La recherche de métriques canoniques a été initiée par Calabi. On cherche à perturber la métrique par un potentiel pour minimiser un problème variationnel, en l’occurence la norme L2 de la courbure scalaire. Cette approche analytique est réputée extrêmement difficile. Elle donne lieu à une équation différentielle non linéaire d’ordre 4...