Stage de M2R : Problèmes aux limites hyperboliques et schémas numeriques

L'étude des systèmes hyperboliques est motivée par de nombreuses applications physiques : l'éléctromagnetisme, l'élastodynamique, la mécanique des fluides etc. Pour tous ces problèmes, la simulation numérique est un outil indispensable dans des contextes industriels. De telles simulations requierent une bonne compréhension des conditions aux limites numériques qu'on est en droit d'imposer, soit pour coller à la modélisation physique soit parce que le domaine de simulation doit être tronqué artifficiellement. Le but du mémoire est d'aborder la théorie des problèmes aux limites pour les discrétisations de systèmes d'équations aux dérivées partielles hyperboliques. On étudiera dans un premier temps les discrétisations d'un tel système par des méthodes de différences finies en l'absence de frontières. On étudiera ensuite l'influence des conditions aux limites numériques lorsque le domaine de simulation est une demi-droite, le but de la théorie étant de caractériser (par une condition nécéssaire et suffisante) la stabilité d'un schéma par une condition de type algébrique sur une famille de sous-espaces vectoriels. Cette condition est dûe, dans ce contexte, à Gustafsson, Kreiss et Sundstrom. Le mémoire proposé peut s'inscrire dans un parcours incluant une thèse de doctorat dans cette thématique.