Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

LE CADRE GENERAL DE CE TRAVAIL EST L'ETUDE DES INVARIANTS QUANTIQUES DES VARIETES DE DIMENSION 3 ET DE LEUR RELATIONS EVENTUELLES AVEC LA TOPOLOGIE CLASSIQUE. LES DEUX PREMIERS CHAPITRES DE LA THESE TRAITENT CE PROBLEME DANS LE CAS PARTICULIER DES INVARIANTS U(1), CONSTRUITS PAR MURAKAMI-OHTSUKI-OKADA A PARTIR DES MATRICES D'ENLACEMENT. IL EST CONNU QUE CES INVARIANTS NE DEPENDENT QUE DU PREMIER NOMBRE DE BETTI ET DE LA FORME D'ENLACEMENT DE LA 3-VARIETE. DANS LE PREMIER CHAPITRE, ON MONTRE UNE RECIPROQUE DE CE RESULTAT. DANS LE DEUXIEME CHAPITRE, ON DEFINIT DES RAFFINEMENTS COHOMOLOGIQUES ET SPINORIELS DES INVARIANTS U(1) ET ON LES INTERPRETE EN FONCTION DE LA FORME D'ENLACEMENT. LES RAFFINEMENTS COHOMOLOGIQUES PERMETTENT DE CONSTRUIRE UN INVARIANT Z(M,C), OU C EST UNE CLASSE DE COHOMOLOGIE ENTIERE DE TORSION EN DEGRE 2 ; QUI EST DETERMINE PAR LE PREMIER NOMBRE DE BETTI DE LA VARIETE M, LA FORME D'ENLACEMENT DE M ET LA CLASSE D'ISOMETRIE DE C. QUANT AUX RAFFINEMENTS SPINORIELS, ILS CONDUISENT A LA CONSTRUCTION D'UN INVARIANT Z(M,S) OU S EST UNE STRUCTURE SPINORIELLE ENTIERE DE TORSION SUR M. CET INVARIANT PERMET DE METTRE EN EVIDENCE UNE BIJECTION ENTRE L'ENSEMBLE DES STRUCTURES SPINORIELLES DE TORSION D'UNE VARIETE M ET L'ENSEMBLE DES FONCTIONS PRESQUE LINEAIRES, RELATIVEMENT A LA FORME D'ENLACEMENT. DANS LE TROISIEME CHAPITRE ON S'INTERESSE A L'INVARIANT PERTURBATIF UNIVERSEL DES 3-VARIETES DE LE-MURAKAMI-OHTSUKI. IL EST CONNU QUE LES TERMES DE DEGRE 0 ET 1 DE CET INVARIANT LMO SONT RESPECTIVEMENT (A NORMALISATION PRES) L'ORDRE DU PREMIER GROUPE D'HOMOLOGIE ET L'INVARIANT DE CASSON-WALKER-LESCOP. AFIN D'AVOIR DES INFORMATIONS SUR LE TERME DE DEGRE 2, ON LE CALCULE POUR LA 3-VARIETE OBTENUE PAR CHIRURGIE SUR LE DOUBLE NON-TWISTE D'UN NOEUD, QUI EST UN CAS PARTICULIER DE SPHERE D'HOMOLOGIE ENTIERE D'INVARIANT DE CASSON TRIVIAL.