Language

Accueil

Groupe de travail Géométrie

PROGRAMME

responsables : Colette Anné, Yann Rollin

Cette année, le groupe de travail se réunira le mercredi (ou parfois le lundi) à 15h30 salle Hypatia.

Au second trimestre, nous essaierons de comprendre la construction de l'invariant de Bauer-Furuta.

Cet invariant est un rafinement de l'invariant classique de Seiberg-Witten. Les applications possibles concernent l'approche de la conjecture du 11/8ème ainsi que les variétés réductible d'Einstein. En quelques mots, l'invariant de Seiberg-Witten classique est développé en utilisant l'approche habituelle en théorie de jauge : on étudie l'espace des modules. Génériquement cet espace est compact et lisse et l'invariant de Seiberg-Witten s'obtient en comptant les points de l'espace des modules.

L'approche originale de Bauer-Furuta consiste a approximer les équations de Seiberg-Witten par une suite d'équations en dimension finie via la théorie spectrale. Ainsi, on associe à ces équations un élément d'un groupe de (co)-homotopie. Pour plus de précisions, il y a de nombreux articles consacrés à ce sujet, en particulier les articles originaux de Bauer-Furuta:

Au premier trimestre nous avons étudié les résultats des travaux suivants qui lient chirurgie et spineurs harmoniques :

Surgery and the Spectrum of the Dirac Operator de Christian Bär et Mattias Dahl

Surgery and harmonic spinors de B. Ammann, M. Dahl, E. Humbert

Ces questions ont été initiées par Nigel Hitchin, dans Harmonic Spinors qui montrait (en particulier) que

  • la dimension du noyau de l'opérateur de Dirac est un invariant conforme
  • cette dimension dépend de la métrique (voir aussi Metrics with harmonic spinors de C. Bär)
  • il existe sur toute variété de dimension 8k,8k+1,8k+3 supérieure à 3, une métrique avec des spineurs harmoniques (dans l'article déjà cité C. Bär le montre en dim 8k+7).