Alternative de Tits

On dit qu'un groupe $G$ satisfait l'alternative de Tits si pour tout sous-groupe $H$ de $G$, ou bien $H$ est virtuellement résoluble, ou bien il contient un sous-groupe libre non abélien. Le théorème de Tits stipule que les groupes linéaires satisfont l'alternative de Tits.

On montrera le théorème de Tits dans le cas particulier des sous-groupes de $GL_2(\mathbb{R})$. La preuve s'appuiera sur la géométrie des isométries du disque hyperbolique.