Dimension de Fourier et ensembles de Julia
 

Un phénomène surprenant existe autour de l'ensemble de Cantor triadique: la loi de Cantor (la "mesure uniforme sur le Cantor") a pour fonction de répartition le célèbre escalier du diable, qui s'avère être $\frac{\log 2}{\log 3}$-Hölderienne. C'est la dimension de Hausdorff de l'ensemble de Cantor. De plus, la transformée de Fourier de cette mesure s'avère décroitre comme $|\xi|^{-\frac{\log 2}{\log 3}}$ "en moyenne". Ce n'est pas une coïncidence, et est un indice vers un lien plus profond entre la géométrie des fractales et l'analyse de Fourier. Dans cette présentation nous détaillerons une partie de ce lien à travers la notion de dimension de Fourier. Nous discuterons de l'état de l'art et de quelques résultats récents: la dimension de Fourier d'un ensemble de Julia hyperbolique est positive.