Dans cet exposé, je proposerai une introduction à l’ergodicité quantique. On considère une variété riemannienne compacte lisse, ainsi que l’opérateur de Laplace–Beltrami associé, qui possède un spectre discret et une base hilbertienne de fonctions propres. Du point de vue de la mécanique quantique, les densités de probabilité associées à ces fonctions propres décrivent la probabilité de présence d’une particule en un point de la variété. Une question centrale est de comprendre comment ces mesures se répartissent lorsque l’énergie tend vers l’infini, et en quoi ce comportement reflète la dynamique du flot géodésique.
Afin d’illustrer ces notions, je présenterai un exemple dans un cadre euclidien muni d’un champ magnétique, où apparaissent concrètement les différentes notions évoquées.
We consider a renewal process which models a cumulative shock model that fails when the accumulation of shocks up-crosses a certain threshold. The ratio limit properties of the probabilities of non-failure after n cumulative shocks are studied. We establish that the ratio of survival probabilities converges to the probability that the renewal epoch equals zero. This limit holds for any renewal process, subject only to mild regularity conditions on the individual shock random variable. Precision on the rates of convergence are provided depending on the support structure and the regularity of the distribution. Arguments are provided to highlight the coherence between this new results and the well known Theory of Large Deviation.
Dans cette présentation, nous nous intéresserons à l'équation de Schrödinger semi-classique, une équation fondamentale de la mécanique quantique, qui décrit l'évolution temporelle des particules quantiques. Comme les solutions exactes de cette équation sont rarement explicites et que les méthodes numériques classiques se révèlent souvent trop coûteuses, notre objectif est de développer des stratégies alternatives, à la fois plus faciles à mettre en œuvre et suffisamment précises, pour approcher les solutions de l'équation considérée. Pour cela, nous étudierons des fonctions particulières, appelées paquets d'ondes, qui représentent des états quantiques localisés et qui sont caractérisées par plusieurs paramètres. Dans un premier temps, nous montrerons comment, à partir d'une donnée initiale définie par un paquet d'onde, il est possible de construire une bonne solution approchée pour l'équation de Schrödinger semi-classique scalaire. Dans un second temps, nous expliquerons comment cette approche peut être généralisée à des équations plus complexes, à valeurs vectorielles, où de nouveaux phénomènes apparaissent.
Matter, and more specifically molecules, are constantly moving... However, a mathematical model can explain this movement, which is both ordered and chaotic : the Langevin equation.
So let Ω ⊂ R^d be a bounded smooth domain and b : Ω→ R^d be a smooth vector field. We focus on the associated overdamped Langevin equation :
\partial_t Xt = b(Xt ) + h^1/2Bt
in the low temperature regime h→ 0 and in the case where b admits the decomposition b = −∇ f− ℓ with ∇ f· ℓ= 0 on \partial Ω.
To study this equation, we analyse the spectrum of the infinitesimal generator of the dynamics:
Lh = −∆ + ∇ f · ∇ + ℓ · ∇
with Neumann boundary conditions.
In this case, moving particles will remain trapped inside the domain and more precisely the process remains trapped,
for some time, in a certain region of the domain before going to another area. These regions are called metastables and
correspond to neighborhoods of minima of f.
Finally, thanks to spectral theory and more specifically small eigenvalues of Lh , we can describe the return to equilibrium
of this metastable dynamic.
The finite volume method is a discretization method for solving partial differential equations (PDE) where the degrees of freedom approximate the average of the PDE solution over control volumes. In this talk, we will apply this method to the Euler equations, a system of non-linear hyperbolic PDEs governing the dynamics of a compressible, adiabatic and inviscid fluid. Particular attention will be paid to the robustness and stability of the approximation and to ensure, at the discrete level, some fundamental physical principles (e.g., conservation, positivity of some quantities, second law of thermodynamics).
Rediscovered by J-L LODAY in 1990's, Leibniz algebras are non-anticommutative versions of Lie algebras.
In the last three decades numerous papers and results on Leibniz algebras appeared. Leibniz algebras play an important role in different areas of mathematics and physics. In this talk, Lie algebras and Leibniz algebras will be considered from a purely algebraical point of view.
In this talk, we will give an introduction to Leibniz algebras, their bimodules and their cohomology.
If we have time left, we will describe a special class of Leibniz algebras : the cyclic Leibniz algebras.
Dans cette présentation, nous montrons que sur une variété riemannienne compacte, la famille de métriques conformes dont la courbure scalaire est contrôlée et dont la première valeur propre du Laplacien conforme est uniformément minorée reste compacte : aucune concentration ou explosion ne peut se produire.
Les statistiques d’ordre apparaissent dans plusieurs domaines de la statistique théorique, tels que l’inférence ou la statistique non paramétrique, en plus de leurs nombreuses applications pratiques. En raison de leur caractère dépendant, leur étude utilise des outils probabilistes particuliers. Dans cet exposé, nous proposons d’introduire les statistiques d’ordre et d’étudier l’une de leurs applications : l’estimation de quantiles.
