Séminaire des doctorants (archives)

Dans un premier temps, je vous introduirai rigoureusement à la notion de variété algébrique en toute généralité. Puis je me concentrerai sur les variétés projectives avec des "rappels" sur l'espace projectif.

Dans une seconde partie, je vous parlerai de géométrie analytique en faisant le parallèle avec les notions précédentes. J'évoquerai l'idée du principe GAGA de Serre (Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique) et je m'attarderai plus en détail sur le théorème de Chow.

On s'intéressera au comportement des solutions de l'équation de Laplace au voisinage d'un bord soumis à des conditions aux limites mixtes de type Dirichlet-Neumann. Après avoir illustré numériquement la perte de régularité et ses effets sur la méthode des éléments finis, on introduira les idées de base de l'analyse asymptotique de coin permettant d'expliquer ces phénomènes. On montrera enfin comment une méthode numérique permet de calculer les coefficients de singularité et d'améliorer les simulations sans recourir à un raffinement de maillage coûteux.

Le 21ème problem de Hilbert (1900) a amené beaucoup de matematicien.nes à étudier des ODE sur la droite complexe. Ici tout est plus bizarre: il suffit de penser que le logarithme complexe n'est pas bien défini (ce qui, vous pouvez imaginer, pose pas mal des soucis pour l’intégration). Le problème de Hilbert a ensuite évolué avec le temps. On s'est rendu compte que la droite complexe était "trop petite" pour répondre à la question, et qu'il fallait plutôt travailler sur la sphère de Riemann, qui est la compactification naturelle de $\mathbb{C}$ en rajoutant un point que l'on appelle "l'infini". En partant d'un petit théorème topologique et d'un exemple simple et classique on présentera les systèmes de ODE de rang deux sur la sphère de Riemann et leur monodromie.

Cette présentation est une introduction à la méthode de Stein, un moyen de caractériser une mesure de probabilité par un opérateur et une classe de fonctions. Son application principale est d’obtenir des bornes sur la distance entre deux mesures de probabilités. En particulier, cela permet d’obtenir des vitesses de convergence pour la convergence d’une suite de variables aléatoires vers une loi cible.

L’optimisation globale de fonctions polynomiales sous contraintes algébriques est un défi majeur, classé comme NP-difficile en raison de la difficulté à certifier la non négativité d’un polynôme. Cet exposé présentera comment la programmation semidéfinie (SDP) et la méthode des sommes de carré (SOS) permettent de contourner ce verrou en transformant des problèmes non-convexe en une suite de relaxations convexes traitables. Nous explorerons également la hiérarchie des moments-SOS, qui établit un pont entre l’algèbre et la théorie des mesures pour garantir la convergence vers l’optimum globale.

Dans la nature (et dans les mathématiques) se trouvent des fonctions qui oscillent beaucoup. Mais, quelle est la façon la plus efficace de les étudier? La réponse de la topologie persistante est «ignorez les petites oscillations». Dans cet exposé nous introduirons les modules de persistance (ou codes-barres), un concept de la topologie persistante, et expliquerons comment les utiliser pour comparer des fonctions sur des variétés riemanniennes compactes. Après, nous appliquerons cet outil pour compter grossièrement les domaines nodaux des combinaisons linéaires de fonctions propres de certains opérateurs.

Que devient un système dynamique avec le temps ? Où se dirigent ses points, où retournent-ils, et quelle est la complexité de leurs trajectoires ? À travers des exemples, nous explorerons des notions fondamentales comme la périodicité, l’intégrabilité et l’entropie. Nous verrons comment la géométrie du système peut contraindre le mouvement. Si le temps le permet, nous ferons un petit tour dans le monde de la dynamique symplectique. Aucun prérequis n’est nécessaire, si ce n’est une licence en math. Des notions en géométrie différentielle peuvent être utiles, mais pas indispensables.

Dans cet exposé, je proposerai une introduction à l’ergodicité quantique. On considère une variété riemannienne compacte lisse, ainsi que l’opérateur de Laplace–Beltrami associé, qui possède un spectre discret et une base hilbertienne de fonctions propres. Du point de vue de la mécanique quantique, les densités de probabilité associées à ces fonctions propres décrivent la probabilité de présence d’une particule en un point de la variété. Une question centrale est de comprendre comment ces mesures se répartissent lorsque l’énergie tend vers l’infini, et en quoi ce comportement reflète la dynamique du flot géodésique. Afin d’illustrer ces notions, je présenterai un exemple dans un cadre euclidien muni d’un champ magnétique, où apparaissent concrètement les différentes notions évoquées.