Exercice 1) On considère l'équation du premier ordre y' = y, avec et (t, y) × + *.
a) Rechercher toutes les solutions (I, f) (avec f de I dans + *).
b) On se donne (t0, y0) × + *. Rechercher toutes les solutions (I, f) satisfaisant la condition de Cauchy : t0 I et f(t0) = y0.
c) Reprendre les deux questions avec + * et (t, y) × +.
Exercice 2) On considère l'équation zz' = t, avec la donnée de Cauchy (t0, z0) = (0, 0). Déterminer les solutions maximales sur × +, et sur × .
Exercice 3) On considère l'équation (x + y) + (x - y)y' = 0 sur 2.
a) Trouver les fonctions C1 de 2 dans dont la différentielle df en (x, y) soit (x + y)dx + (x - y)dy.
b) Soit (x0, y0) 2 avec x0y0. Résoudre le problème de Cauchy associé.
c) Que peut-on dire si x0 = y0 ?
Exercice 4) Étudier puis résoudre les problèmes de Cauchy suivant :
a) tu' + u2 = 1, u(4/) = -1 ;
b) u' = (t3 - t)e-u, u(0) = 0 ;
c) 4tu'2 = u2 - 1, u(0) = 1;
d) u' = sin(u), u(0) = u0 (en particulier étudier le cas y0 ) ;
Exercice 5) On considère l'équation a2y'2 - t(1 + y'2) = 0 où a + *.
a) Réduire l'étude à a = 1.
b) Déterminer les solutions, par exemple à l'aide d'un paramétrage s(p(s), q(s)) de l'ensemble des couples (p, q) tels que q2 - p(1 + q2) = 0. (Dessiner plusieurs courbes intégrales)
c) Que peut-on dire du problème de Cauchy ?
Exercice 6) On considère l'équation y2 + (yy')2 = a2 où a + *.
a) Montrer qu'une solution garde un signe constant. Réduire l'étude à a = 1 et U = × + *.
b) Déterminer les solutions, par exemple à l'aide d'un paramétrage s(p(s), q(s)) de l'ensemble des couples (p, q) tels que p2 + p2q2 = 1. (Dessiner plusieurs courbes intégrales)
c) Que peut-on dire du problème de Cauchy ?
Exercice 7) On considère l'équation (v + xv')2 - 4x2v' = 0
a) Étudier ses solutions, par exemple à l'aide d'un paramétrage s(p(s), q(s)) de l'ensemble des couples (p, q) tels que (p + q)2 - 4q = 0.
b) Discuter du problème de Cauchy de donnée (x0, v0) : nombre de solutions locales, nombre de solutions maximales.
Exercice 8) Déterminer les solutions de l'équation x2(xy' - y) = y2 - x2 par passage en coordonnées polaire (x, y) = (r cos(t), r sin(t)).
Exercice 9) On considère l'équation ff'' - 2f'2 - f2 = 0.
a) Chercher les solutions qui ne s'annulent pas à l'aide du changement de fonction g = f'/f. Discuter du problème de Cauchy.
b) Retrouver ces résultats à l'aide du changement de fonction h = f' f-1. (f-1 désigne ici la fonction réciproque de f, dans la mesure où cela a un sens)