Licence 1999-2000 L4 Calc. Diff.-Équa. Diff.
10 avril
Équations différentielles (III)

Exercice 1) Soit f et g deux fonctions de classe C1 de R dans R. On considère l'équation différentielle :

x''+ f(x)x'+ g(x) = 0.

a) Écrire cet équation sous la forme d'un système du premier ordre pour (x, y) = (x, x').

On fait les hypothèses de frottement et de rappel

A x (- R, f(x) > 0 et A x (- R xg(x) > 0.

b) Déterminer G pour que E(x, y) = y2/2 + G(x) soit une intégrale première quand f est la fonction nulle.

c) Montrer que sous l'hypothèse de frottement, E décroit le long des trajectoires, et que sous l'hypothèse de rappel, 0 est un minimum de E.

d) Montrer que si f(0) > 0 et xg(x) = 0 sur un voisinage K de 0 dans R, alors 0 est un point d'équilibre stable.

e) Montrer que si f(x) > 0 et xg(x) > 0 sur un voisinage K de 0 dans R, alors E est une fonction de Liapounov et 0 est asymptotiquement stable. Peut-on encore affaiblir l'hypothèse sur g ?

f) Donner une condition suffisante pour que toute solution converge vers 0 quand t --> oo .

g) Application aux systèmes

{ ' { ' { ' (S) x = y (T ) x = y (U) x = y y'= - exp(-x2)(x+ y) y'= -(x+ y)/(1+ x4) y'= - (x+ y)/(1 + x2)
indications : pour S, on montrera que toute solution qui entre dans la zone «|y| < exp(-x2/2)» tend vers 0 à l'infini, puis que toute solution qui entre dans la zone «x > 0 et xy > 1» ne peut pas en ressortir, avant de déterminer avec précision le bassin d'attraction de 0.

Exercice 2) Étude qualitative des systèmes

{ ' { ' 2 2 { ' 2 2 (S1) x = y - x- 2 (S2) x = x + y - 1 (S3) x = x + y - 25 y'= x2 - y y'= xy y'= xy- 12
On tracera plusieurs isoclines. On déterminera la position et la nature des points d'équilibres. On essaiera de donner l'allure des séparatrices de chaque col, et de décrire les bassins d'attraction (resp. de répulsion) des équilibres asymptotiquement stables (resp. en t --> - oo )