Nous donnons ici les définitions et notations indispensables à la manipulation naïve des ensembles. La théorie formelle des ensembles est une théorie mathématique qui permet de fonder rigoureusement une part gigantesque des toutes les mathématiques, en évitant soigneusement bien des paradoxes. Les objets de base de cette théorie sont les ensembles. La relation de base sur ces ensembles est l’appartenance.
On écrit et on lit appartient à pour signifier que est un élément de l’ensemble .
On écrit et on dit que est inclus dans pour signifier que tout élément de est aussi élément de . On dit aussi que est une partie, ou encore un sous-ensemble, de .
La négation de cette phrase, qui s’écrit signifie qu’il existe un élément dans qui n’appartient pas à .
En utilisant les quantificateur (pour tout : , et il existe : ) et les connecteurs (entraine : et et : ), ces deux phrases s’écrivent respectivement
L’égalité de deux ensembles, notée signifie qu’ils ont exactement les mêmes élément, c’est à dire (en utilisant le connecteur équivaut à : ), ou encore que . Quand c’est le cas, on peut remplacer dans n’importe quelle phrase par sans changer sa véracité.
Donc pour définir un ensemble, il convient de décrire ses éléments. S’ils sont en nombre fini (et petit), on peut en faire la liste, comme par exemple , et quand c’est clair utiliser une ellipse (les trois petits points), comme par exemple désigne l’ensemble des lettres de l’alphabet. On dit que l’on définit l’ensemble en extension.
Dans d’autre cas, il convient pour définir l’ensemble de donner une phrase équivallente à . On dit que l’on définit en compréhension.
L’ensemble , par exemple, est ainsi définit par équivaut à . On l’appelle la paire , . Il se peut que auquel cas on écrit simplement et on parle du singleton .
L’ensemble est le couple , . Pour abbreger, on préfère le noter . La caractéristique des couples est que équivaut à .
Donc il ne faut pas confondre les paires et les couples. Par exemple on a toujours alors que équivaut à .
Continuons les définitions d’ensembles en compréhension.
Par exemple on définit l’intersection de et par : équivaut à .
De même on définit l’union de et par : équivaut à (en utilisant le connecteur ou : ).
De même on définit la différence : privé de par : équivaut à .
Il y a un ensemble qui ne contient aucun élément. C’est l’ensemble vide, noté . Donc la phrase est toujours fausse, quel que soit . Donc , pour tout .
Quand désigne un ensemble, désigne l’ensemble des parties de : équivaut à . On dit aussi que est l’ensemble puissance de .
L’ensemble produit cartesien de et est noté . C’est l’ensemble des couples tels que et .
Une relation de dans est une partie de . On écrit pour , ce qui se lit est en relation par avec . On dit aussi que est une image de par et que est un antécédent de par .
Le domaine de est l’ensemble des pour lesquels il existe tel que . De façon symétrique, l’image de est l’ensemble des pour lesquels il existe tel que .
La relation inverse de est de dans définie par si et seulement si .
Si est une relation de dans et si est une relation de dans , alors la composée de et est la relation de dans définie par si et seulement si il existe tel que et .
La relation de dans est fonctionelle si et entraine , c’est-à-dire si tout élément a au plus une image par .
La relation de dans est une application de dans si elle est fonctionelle et si , c’est-à-dire si tout élément a exactement une image par . On note cette image de par et on note le fait que soit une application de dans .
Si et si , alors la composée de et est une application de dans notée de sorte que .
Une application est injective si son inverse est fonctionelle ; et surjective si ; et bijective si elle est à la fois injective et bijective, c’est-à-dire si est une application de dans , que l’on note alors . Ainsi, lorsque est une application bijective, équivaut à .
Soit et , et . Si est injective alors l’est. Si est surjective alors l’est. Si , est l’identité sur , (c’est-à-dire la relation diagonale de , celle qui contient exactement les couples quand parcourt , qui est aussi l’application telle que pour tout ) et est l’identité sur , alors est bijective et .
Une application d’un ensemble dit ensemble d’indices dans définit une famille de parties de : pour tout , on a .
Le produit cartésien (généralisé) de cette famille, noté , est l’ensemble des familles (c’est-à-dire des applications de dans, par exemple, ) telles que pour tout .
On parle de produit dépendant dans la mesure où les facteurs dépendent de . Si au contraire, tous les sont égaux, par exemple à , on note ce produit cartésien , et c’est l’ensemble des aplications de dans .
Retournons au cas d’une famille de parties de . On note l’ensemble des tels que . On note l’ensemble des tels que . Cela généralise l’intersection et l’union de deux ensembles.