Pierre Vogel Théorie de Vassiliev

Ce cours est consacré à la théorie de Vassiliev. L’intégrale de Kontsevich (ou le foncteur de Kontsevich-Drinfeld) transforme un entrelacs en une série formelle de graphes trivalents munis de certaines structures. Cette transformation associe à un plongement α d’une courbe Γ dans ℝ^{3} un élément Z(Γ, α) d’un module de diagrammes A(Γ) défini en termes purement combinatoires. On obtient ainsi une transformation universelle qui redonne la plupart des invariants connus comme le polynôme HOMFLY ou le polynôme de Jones. Peu de choses sont connues sur les modules A(Γ) mis à part les fonctions de poids associées à des algèbres de Lie. L’algèbre de Lie universelle est une structure universelle qui globalise en un certain sens tous ces modules. Cette algèbre de Lie universelle est définie en termes purement catégoriques mais elle reste très mystérieuse. Un certain nombre d’informations surprenantes sont données, en particulier concernant son algèbre de coefficients.

Premier cours : Nœuds et entrelacs, la catégorie des tangles. Cas non-orienté, orienté et en bande. Invariants de Vassiliev (ou de type fini). Exemples: polynôme de Jones, polynôme HOMFLY, polynôme et crochet de Kauffman.

Deuxième cours : Entrelacs singulier, diagramme de corde. Modules de diagrammes trivalents. L’intégrale de Kontsevich et le foncteur de Kontsevich-Drinfeld.

Troisième cours : Fonctions de poids associées à une algèbre de Lie. Structure des modules de diagrammes. Algèbre de Lie universelle. Propriétés de son algèbre de coefficients : non-intégrité et existence d’éléments nilpotents.