Liste des travaux 1996-2001

Extensions entre puissances extérieures et entre puissances symétriques, Journal of Algebra 179, 501-522 (1996)

On the MacLane cohomology for the ring of integers, avec Teimuraz Pirashvili; Topology 37-1, 109-114 (1998)

General linear and functor cohomology over finite fields, avec Eric M. Friedlander, Alexander Scorichenko et Andrei Suslin; Annals of Mathematics 150, 663-728 (1999)

Foncteurs polynômiaux et foncteurs de Mackey non-linéaires, avec Hans-Joachim Baues, Winfried Dreckmann, et Teimuraz Pirashvili; Bull. Soc. math. France 129 (2), 237-257 (2001)

Cohomologie des foncteurs

A propos de General linear and functor cohomology over finite fields,
avec Eric M. Friedlander, Alexander Scorichenko et Andrei Suslin,
Annals of Mathematics 150, 663-728 (1999).

Ce thème de recherche s'est développé à partir de l'article
Autour de la cohomologie de MacLane des corps finis, Inventiones Math. 115, 513-538 (1994).
On y calcule, dans la catégorie des foncteurs entre espaces vectoriels sur un corps fini,
les groupes d'extensions du foncteur identité avec lui-même.
On doit penser aux foncteurs comme à des représentations naturelles,
comme il est classique en caractéristique nulle.
La subtilité pour les corps finis vient de la prise en compte du Frobenius.

Ce problème d'algèbre homologique intervient dans plusieurs domaines.
Le premier, L. Breen avait fait ce calcul, dans le cadre de ses ''extensions du groupe additif''
(on complète son travail),
calcul repris par M. Bökstedt pour aborder des questions de K-théorie.

La méthode que j'ai élaborée est basée sur une étude des puissances symétriques,
des puissances extérieures, et de leur produits tensoriels,
et plus spécifiquement des complexes de De Rham et de Koszul.
Il apparaît que cette méthode est d'une grande portée.
Elle a pu être utilisée telle quelle par Friedlander et Suslin dans le cadre un peudifférent,
et en fait plus simple, des représentations rationnelles du groupe algébrique GL_n.
Dans Cohomology of finite group schemes over a field, Invent. math. 127, 209-270 (1997),
ils remarquent qu'on peut considérer de telles représentations comme des foncteurs
et appliquer alors la méthode que j'ai mise au point pour calculer leur cohomologie.
Notre rencontre à Evanston a débouché sur le travail fondamental
General linear and functor cohomology over finite fields.
D'abord, la catégorie des foncteurs de Friedlander et Suslin fait disparaître les difficultés de mon travail
Extensions entre puissances extérieures et entre puissances symétriques, Journal of Algebra 179, 501-522 (1996),
et permet dans ce cadre des calculs cohomologiques complets et élégants.
Ensuite, ma technique de changement de corps, alliée au maniement des produits tensoriels,
permet de comparer les cohomologies dans les deux catégories.
La réponse est exprimée en fonction du twist de Frobenius, et du nombre d'éléments du corps.
Ceci aboutit au calcul, pour une grande quantité de foncteurs, dans la catégorie moins commode.
On étend ainsi aux corps finis la compréhension des rapports
entre cohomologie des groupes linéaires (groupe algébrique ou groupe fini) et K-théorie.
On fournit aussi, dans le cas du groupe linéaire, un complément aux résultats de
E. Cline, B. Parhall, L. Scott et W. van der Kallen dans
Rational and generic cohomology, Invent. Math. 39, 143-163 (1977).
Ces auteurs ont observés que la cohomologie des modules rationnels est isomorphe
à la cohomologie du groupe de Chevalley, pourvu que le corps ait suffisament d'éléments et
que l'on applique le twist de Frobenius suffisament de fois.
Une conséquence de nos résultats est de fournir les bornes optimales d'une telle stabilité.

L'article On the MacLane cohomology for the ring of integers, Topology 37-1, 109-114 (1998)
est une autre illustration de la portée de la même méthode :
on y calcule la cohomologie de MacLane des entiers en quatre pages.